2014届高三数学(理)一轮总复习：第二篇 函数、导数及其应用 第11节导数在研究函数中的应用 Word版含解析

又因为f(1)=4,f'(1)=>0,f(2)=5, f'(2)=

<1,所以f(1)-f'(1)<4,f(2)-f'(2)>4,

根据零点存在性定理知,方程f(x)-f'(x)=4在(1,2)内必有一个解.又由于f(x)-f'(x)是一个增函数,

故方程f(x)-f'(x)=4在(1,2)内只有一个解.因此a=1. 答案:1

8.(2012广州模拟)设函数f(x)=ax3-3x+1(a∈R),若对于任意x∈[-1,1],都有f(x)≥0成立,则实数a的值为 . 解析:由题意得f'(x)=3ax2-3,

当a≤1时,在[-1,1]上恒有f'(x)=3ax2-3≤0, ∴f(x)在[-1,1]上为减函数, ∴f(x)最小值=f(1)=a-2≥0,

解之得a≥2(与条件a≤1矛盾),不符合题意; 当a>1时,令f'(x)=0可得x=±, 当x∈当x∈

时,f'(x)<0,f(x)为减函数; ,x∈

时,f'(x)>0,f(x)为增函数.

∴x=±为极值点,要使f(x)≥0成立,

只需

即

∴a=4. 答案:4 三、解答题

9.已知函数f(x)=(1+x)2-ln(1+x), (1)求函数f(x)的单调区间; (2)若x∈

时,f(x)

解:(1)∵f(x)=(1+x)2-ln(1+x)(x>-1), ∴f'(x)=(1+x)-=

(x>-1),

∴-10时,f'(x)>0,

∴函数f(x)的单调递减区间为(-1,0),单调递增区间为(0,+∞). (2)由(1)知,函数f(x)在又∵f

上单调递减,在(0,e-1)上单调递增.

=+1,f(e-1)=e2-1>+1,

∴f(x)≤e2-1,

又f(x)e2-1.

上恒成立,

10.(2012石家庄市高中毕业班教学质检)已知函数f(x)=aln x-2ax+3(a≠0). (1)设a=-1,求函数f(x)的极值;

(2)在(1)的条件下,若函数g(x)=x3+x2[f'(x)+m].(其中f'(x)为f(x)的导数)在区间(1,3)上不是单调函数,求实数m的取值范围. 解:(1)当a=-1,f(x)=-ln x+2x+3(x>0), f'(x)=-+2,

∴函数f(x)的单调递减区间为∴函数f(x)的极小值是 f

=-ln +2×+3=ln 2+4,无极大值.

x2,

,单调递增区间为

.

(2)g(x)=x3+

∴g'(x)=x2+(4+2m)x-1,

∵g(x)在区间(1,3)上不是单调函数, 且g'(0)=-1, ∴∴

即-

.

11.(2013内江市第一次模拟考试)已知函数f(x)=ax2-3x+ln x(a>0). (1)若曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线平行于x轴,求函数f(x)在区间,2上的最值;

(2)若函数f(x)在定义域内是单调函数,求a的取值范围. 解:(1)∵f(x)=ax2-3x+ln x, ∴f'(x)=2ax-3+, 又f'(1)=0, ∴2a-2=0, ∴a=1,

∴f(x)=x2-3x+ln x,f'(x)=2x-3+, 令f'(x)=0,即2x-3+=0, 解得x=或x=1. 列表如下:

x f'(x) - 1 0 (1,2) + 2