2018年江苏省南京市玄武区中考数学二模试卷

的深度y（m）与注水时间x（h）之间的函数图象如图所示．

（1）分别求出甲、乙两个蓄水池中水的深度y1、y2与注水时间x之间的函数表达式； （2）求点P的坐标，并说明其实际意义．

【分析】（1）根据函数图象中的数据可以求得相应的函数解析式；

（2）将（1）中的两个函数解析式联立方程组，即可求点P的坐标，并写出其实际意义． 【解答】解：（1）设y1与注水时间x之间的函数表达式是y1=k1x+b1，

，得，

即y1与注水时间x之间的函数表达式是y1=x+4（0≤x≤3），

设y2与注水时间x之间的函数表达式是y2=k2x+b2，

，得

，

即y2与注水时间x之间的函数表达式是y2=2x+2（0≤x≤3）； （2）

，

解得，，

即点P的坐标为（，），

米．

点P的实际意义是在时，两个水池的水深相等，都是

【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用一次函数的性质解答．

23．（7分）在△ABC中，AB=6，AC=8，D、E分别在AB、AC上，连接DE，设BD=x（0＜x＜6），CE=y（0＜y＜8）．

（1）当x=2，y=5时，求证：△AED∽△ABC；

（2）若△ADE和△ABC相似，求y与x的函数表达式． 【分析】（1）根据两边成比例夹角相等即可证明； （2）法两种情形分别求解即可解决问题；

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【解答】解：（1）∵AB=6，BD=2， ∴AD=4， ∵AC=8，CE=5， ∴AE=3， ∴∴

==，=

==，

，∵∠EAD=∠BAC，

∴△AED∽△ABC；

（2）①若△ADE∽△ABC，则∴y=x（0＜x＜6）． ②若△ADE∽△ACB，则∴y=x+（0＜x＜6）．

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判断方法，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．

24．（7分）如图是在写字台上放置一本摊开的数学书和一个折叠式台灯时的截面示意图，已知摊开的数学书AB长20cm，台灯上半节DE长40cm，下半节DC长50cm．当台灯灯泡E恰好在数学书AB的中点O的正上方时，台灯上、下半节的夹角即∠EDC=120°，下半节DC与写字台FG的夹角即∠DCG=75°，求BC的长．

（书的厚度和台灯底座的宽度、高度都忽略不计，F、A、O、B、C、G在同一条直线上．参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，

≈1.41，结果精确到0.1）

=

， =

，

【分析】如图作DM⊥OE于M，DN⊥FG于N．则四边形DMON是矩形．利用等腰直角三角形的性质求出DM=ON=28.2，在Rt△DCN中，求出CN即可解决问题；

【解答】解：如图作DM⊥OE于M，DN⊥FG于N．则四边形DMON是矩形． ∴DM∥ON，

∴∠DCN=∠CDM=75°， ∴∠EDM=120°﹣75°=45°， ∵DE=40cm， ∴EM=DM=ON=20

≈28.2（cm），

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在Rt△DCN中，CN=CD?cos75°≈13（cm）， ∵OB=10，

∴BC=ON﹣OB﹣CN=28.2﹣10﹣13=5.2（cm）．

【点评】本题考查解直角三角形、等腰直角三角形的性质、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数解答． 25．（9分）已知二次函数y=x2﹣（m+1）x+m（m是常数）

（1）求证：不论m为何值，该二次函数的图象与x轴总有公共点．

（2）若把该二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得图象的函数表达式为y=x2，则m= 3 ．

（3）若该二次函数的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，顶点为D，当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，求m的值．

【分析】（1）令y=0，将二次函数转化为方程x2﹣（m+1）x+m=0求根的问题，根据方程根的判别式来证明；

（2）根据平移规律可以得到原函数解析式，找到对应系数相等即可；

（3）当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，直线CD∥AB，则点C与点D重合． 【解答】解：（1）∵b2﹣4ac=[﹣（m+1）]2﹣4m=（m﹣1）2≥0， ∴不论m为何值，该二次函数的图象与x轴总有公共点；

（2）将抛物线y=x2向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到原抛物线解析式为：y=（x﹣2）2﹣1，即y=x2﹣4x+3， ∵该二次函数y=x2﹣（m+1）x+m， ∴m=3． 故答案是：3．

（3）令x=0，则y=m，即点C的坐标为（0，m）． ∵△ABC的面积与△ABD的面积相等，

∴直线CD∥AB，则点C与点D的纵坐标相等， ∵点D是顶点， ∴点C与点D重合， ∴对称轴是y轴， ∴﹣

=0，即m=﹣1．

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【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，根的判别式，解答此题的时，也可以利用数形结合的思想画出函数图象，再根据函数图象直接解答．

26．（9分）如图，在⊙O中，AB是弦，AC与⊙O相切于点A，AB=AC，连接BC，点D 是BC的中点，连接AD交⊙O于点E，连接OE交AB于点F． （1）求证：OE⊥AB； （2）若AD=4，

=

，求⊙O的半径．

【分析】（1）连接OA、OB，根据切线的性质可得出∠OAC=90°，设∠EAC=α，则∠OAE=90°﹣α，由OA=OE可得出∠OEA=∠OAE=90°﹣α，利用三角形内角和定理可得出∠AOE=2α，由AB=AC利用等腰三角形的三线合一可得出∠BAE=∠EAC=α，进而可得出∠BOE=2∠BAE=2α，即∠AOE=∠BOE，再利用等腰三角形的三线合一可证出OE⊥AB； （2）由

=

可设AC=

x，BC=2x，则CD=BC=x，由勾股定理结合AD=4可求出x的值，进而可

得出AB、AC、BD、CD、AF的值，由∠EFA=∠BDA=90°、∠FAE=∠DAB可得出△FAE∽△DAB，利用相似三角形的性质可求出EF的长度，设⊙O的半径为r，则OA=r，OF=OE﹣EF=r﹣勾股定理可求出r的长度，此题得解． 【解答】（1）证明：连接OA、OB，如图所示． ∵AC与⊙O相切于点A， ∴∠OAC=90°．

设∠EAC=α，则∠OAE=90°﹣α． ∵OA=OE，

∴∠OEA=∠OAE=90°﹣α，

∴∠AOE=180°﹣∠OEA﹣∠OAE=2α． ∵AB=AC，D是BC的中点， ∴∠BAE=∠EAC=α， ∴∠BOE=2∠BAE=2α， ∴∠AOE=∠BOE． 又∵OA=OB， ∴OE⊥AB． （2）解：∵

=

，

，利用

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