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实验五 信号的拉氏变换及系统复频域的分析
一、实验目的
1、 学会用MATLAB进行部分分式展开； 2、 学会用MATLAB分析LTI系统的特性； 3、 学会用MATLAB进行Laplace正、反变换。 二、实验原理及内容
1．用MATLAB进行部分分式展开
用MATLAB函数residue可以得到复杂有理分式F(s)的部分分式展开式，其调用格式为 ?r,p,k??residue(num,den)
其中，num,den分别为F(s)的分子和分母多项式的系数向量，r为部分分式的系数，p为极点，k为F(s)中整式部分的系数，若F(s)为有理真分式，则k为零。
例5-1 用部分分式展开法求F(s)的反变换 F(s)?s?2 32s?4s?3s解:其MATLAB程序为 format rat; num=[1,2]; den=[1,4,3,0];
[r,p]=residue(num,den)
程序中format rat是将结果数据以分数形式显示 r =
-1/6 -1/2 2/3 p =
-3 -1 0
1?0.5?63F(s)可展开为 F(s)? ??ss?1s?3所以，F(s)的反变换为 f(t)???2?2?31?t1?3t?e?e?u(t) 26?
2．用MATLAB分析LTI系统的特性
系统函数H（s）通常是一个有理分式，其分子和分母均为多项式。计算H（s）的零极点可以应用MATLAB中的roots函数，求出分子和分母多项式的根，然后用plot命令画图。
调用格式：roots(C)
功能：求解以向量C为系数向量的多项式的根。
在MATLAB中还有一种更简便的方法画系统函数H（s）的零极点分布图，即用pzmap函数画图。其调用格式为
pzmap(sys)
sys表示LTI系统的模型，要借助tf函数获得，其调用格式为
sys=tf(b,a)
式中，b和a分别为系统函数H（s）的分子和分母多项式的系数向量。
如果已知系统函数H（s），求系统的单位冲激响应h(t)和频率响应H可以用以前（j?）介绍过的impulse和freqs函数。 调用格式：h=impulse(num,den)
功能：求解分子多项式系数为num、分母多项式系数为den的系统的单位冲激响应。
调用格式：[H,w]=freqs(num,den)
功能：求解分子多项式系数为num、分母多项式系数为den的系统的单位冲激响应H，自变量为w。
例5-2 已知系统函数为 H(s)=1
s3?2s2?2s?1试画出其零极点分布图，求系统的单位冲激响应h(t)和频率响应H，并判断系统（j?）是否稳定。
解：其MATLAB程序如下： num=[1];
den=[1,2,2,1]; sys=tf(num,den);
figure(1);pzmap(sys); t=0:0.02:10;
h=impulse(num,den,t); figure(2);plot(t,h)
title('Impulse Response') [H,w]=freqs(num,den); figure(3);plot(w,abs(H)) xlabel('\\omega')
title('Magnitude Response')
10.80.60.4Pole-Zero Mapaginary AxisIm0.20-0.2-0.4-0.6-0.8-1-1-0.9-0.8-0.7-0.6-0.5Real Axis-0.4-0.3-0.2-0.10
10.90.80.70.60.50.40.30.20.1002Magnitude Response4?6810
0.450.40.350.30.250.20.150.10.050-0.0502Impulse Response46810
3．用MATLAB进行Laplace正、反变换
MATLAB的符号数学工具箱提供了计算Laplace正、反变换的函数Laplace和ilaplace,其调用格式为
F?laplace(f)
f?ilaplace(F)上述两式右端的f和F分别为时域表示式和s域表示式的符号表示，可以应用函数sym实现，其调用格式为
S=sym(A)
式中，A为待分析表示式的字符串，S为符号数字或变量。 例5-3 试分别用Laplace和ilaplace函数求 （1）f(t)?esin(at)u(t)的Laplace变换；
?ts2（2）F(s)?2的Laplace反变换。
s?1解：（1）其程序为
f=sym('exp(-t)*sin(a*t)'); F=laplace(f) 或
syms a t
F=laplace(exp(-t)*sin(a*t)) F =
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