[精选]高中数学北师大版选修2-3教学案：第一章 1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理 Word版含解析

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§1

[对应学生用书P2]

分类加法计数原理和分步乘法计数原理

1．李娜为了备战2014年澳大利亚网球会开赛，需要从北京到A地进行封闭式训练，每天有7次航班，5列动车．

问题1：李娜从北京到A城的方法可分几类？ 提示：两类，即乘飞机、乘动车．

问题2：这几类方法都能完成“从北京到A城”这件事吗？ 提示：都能．

问题3：李娜从北京到A城共有多少种不同的方法？ 提示：7＋5＝12(种)．

2．若你班有男生26人，女生24人，从中选一名同学担任班长． 问题4：不同的选法的种数为多少？ 提示：26＋24＝50.

分类加法计数原理(加法原理)

完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2

种方法，……，在第n类办法中有mn种方法．那么，完成这件事共有

N＝m1＋m2＋…＋mn种方法.

1．李娜从北京到A城需在B城停留，若从北京到B城有7次航班，从B城到A城有5列动车．

问题1：李娜从北京到A城需要经历几个步骤？ 提示：两个，即从北京到B城，从B城到A城．

问题2：这几个步骤中的某一步能完成“从北京到A城”这件事吗？

分步乘法计数原理 分类加法计数原理 提示：不能．必须“从北京到B城”“从B城到A城”这两步都完成后才能完成“从北京到A城”这件事．

问题3：李娜从北京到A城共有多少种不同的方法？ 提示：7×5＝35(种)．

2．若你班有男生26人，女生24人，从中选一名男生和一名女生担任班长． 问题4：不同的选法的种数为多少？ 提示：26×24＝624.

分步乘法计数原理(乘法原理)

完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，……，做第n步有mn种方法．那么，完成这件事共有

N＝m1×m2×…×mn种方法．

1．分类加法计数原理中的每一种方法都可以完成这件事情，而分步乘法计数原理的每一个步骤都是完成这件事情的中间环节，都不能独立完成这件事情．

2．分类加法计数原理考虑的是完成这件事情的方法被分成不同的类别，求各类方法之和；而分步乘法计数原理考虑的是完成这件事情的过程被分成不同的步骤，求各步骤方法之积．

[对应学生用书P3]

分类加法计数原理 [例1] 高二·一班有学生50人，男生30人；高二·二班有学生60人，女生30人；高二·三班有学生55人，男生35人．

(1)从中选一名学生担任学生会主席，有多少种不同的选法？

(2)从高二·一班、二班男生中，或从高二·三班女生中选一名学生任学生会体育部长，有多少种不同的选法？

[思路点拨] (1)完成的一件事是从三个班级中选一名学生任学生会主席；(2)完成的一件事是从一班、二班男生中，或从三班女生中选一名学生任学生会体育部长，因而可按当选学生来自不同班级分类，利用分类加法计数原理求解．

[精解详析] (1)选一名学生任学生会主席有3类不同的选法： 第一类，从高二·一班选一名，有50种不同的方法； 第二类，从高二·二班选一名，有60种不同的方法； 第三类，从高二·三班选一名，有55种不同的方法． 故任选一名学生任学生会主席的选法共有 50＋60＋55＝165种不同的方法．

(2)选一名学生任学生会体育部长有3类不同的选法： 第一类，从高二·一班男生中选，有30种不同的方法； 第二类，从高二·二班男生中选，有30种不同的方法； 第三类，从高二·三班女生中选，有20种不同的方法． 故选一名学生任学生会体育部长共有 30＋30＋20＝80种不同的方法．

[一点通] 如果完成一件事有n类不同的办法，而且这n类办法是相互独立的，无论用哪一类办法中的哪一种方法都能独立地完成这件事，那么求完成这件事的方法种数就用分类加法计数原理．分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总种数．

1．上海世博会期间，一志愿者带一客人去预订房间，宾馆有上等房10间，中等房20间，一般房25间，则客人选一间房的选法有( )

A．500种 C．55种

B．5 000种 D．10种

解析：选法为10＋20＋25＝55种． 答案：C

2．(福建高考)满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为( )

A．14 C．12

B．13 D．10

解析：因为a，b∈{－1,0,1,2}，可分为两类：①当a＝0时，b可能为－1或0或1或2，即b有4种不同的选法；②当a≠0时，依题意得Δ＝4－4ab≥0，所以ab≤1.当a＝－1时，b有4种不同的选法，当a＝1时，b可能为－1或0或1，即b有3种不同的选法，当a＝2时，b可能为－1或0，即b有2种不同的选法．根据分类加法计数原理，(a，b)的个数共有4＋4＋3＋2＝13.

答案：B

3．在所有的两位数中，十位数字大于个位数字的两位数共有多少个？

解：依据“十位数字大于个位数字”进行分类，令十位数字为 m，个位数字为n，则有 当 m＝1时，n＝0，有1个；

当 m＝2时，n＝0,1，有2个；当 m＝3时，n＝0,1,2，有3个；…… 当 m＝9时，n＝0,1,2,3…8，有9个．

所有这样的两位数共有1＋2＋3＋…＋9＝45个.

分步乘法计数原理 [例2] (1)(山东高考)用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为

( )

A．243 C．261

B．252 D．279

(2)有三个盒子，分别装有不同编号的红色小球6个，白色小球5个，黄色小球4个，现从盒子里任取红、白、黄小球各一个，有不同的取法________种．

[思路点拨] (1)先排百位，然后排十位，最后排个位．注意百位数字不能为0.

(2)要从盒子里任取红、白、黄小球各一个，应分三个步骤，并且这三个步骤均完成时，才完成这件事，故须采用乘法原理．

[精解详析] (1)十个数字组成三位数的个数为9×10×10＝900.没有重复数字的三位数有9×9×8＝648，所以有重复数字的三位数的个数为900－648＝252.

(2)完成这件事可分三步：

第一步：取红球，有6种不同的取法； 第二步：取白球，有5种不同的取法； 第三步：取黄球，有4种不同的取法．