国立板桥高中数学培训班教材柯光远老师编 - 图文

國立板橋高中數學培訓班教材 柯光遠老師編

一、學科能力競賽數學科競賽方式及內容：

方式 時間 題型 題數 配分 內容 筆試（一） 2小時 計算證明 3 ~ 4題 49分 仿國際數學奧林匹亞方式命題 筆試（二） 1小時 口試 20分鐘 填充 6 ~ 7題 21分 基本能力與概念 30分 筆試最優前6至10名參加 二、競賽試題選講： (一)數論 1.平面上的格子點到直線15x?20y?12?0的最短距離為 (二) 。（格子點是指兩個坐標都是整數的點）【92(二) 2】 2.平面上所有格子點到直線y?54x?的距離之最小值為 (二） 。 35（平面上x坐標與y坐標都是整數的點稱為格子點。）【94(二) 2】

3.設a,b為正整數且a?b，滿足ab?a?b?181及a2b?ab2?3900。求a2?b2? (三) 。【92(二) 3】

4.設n為自然數，試證：在任意3n個正整數中，必存在2n個數的和是2n的倍數。 （17分）【93(一) 3】

5.設n為一正整數，且滿足n2?735是某整數的四次方，求n的所有可能值為何。 （10分）【94(一) 1】

6.試求滿足下列條件的所有正整數n： （1）n恰有6個正因數：1,d1,d2,d3,d4,n； （2）1?n?5(d1?d2?d3?d4)。（16分）【92(一) 1】 知識補給：數學競賽常用的數論

練習題：

1. 求一個四位數，它的前兩位元數位及後兩位元數位分別相同，而該數本身等於一個整數的平方．

2.哪些连续正整数之和为1000？试求出所有的解．

3.在数3000003中，应把它的百位数字和万位数字0换成什么数字，才能使所

得

数能被13整除？

4.（a）求出所有正整数n使2n－1能被7整除．

（b）证明：没有正整数n能使2n＋1被7整除．

5. 證明：如果三個連續自然數的中間一個是自然數的立方，那麼它們的

乘積能被504整除．

(二)代數 1.方程式38?x?38?x?1的解為 （一） 。【92(二) 1】 2.定義兩正數如下： a? b? 則

1111?????， 1?23?45?62003?20041111?????，

100?32004100?42003100?52002200?41003a? (二） 。（化成最簡分數）【92(二) 2】 b3.設a為實數，使得a?log23, a?log43, a?log83形成等比數列，則此等比數列的公比為 （一） 。【94(二) 1】 4.觀察以下數列的規律：

0, 1,?1, 2, 3,?2, 4, 5, 6,?3, 7, 8, 9, 10,?4, 11, 12, 13, 14, 15,?5, …… 則第2004項為 （七） 。【93(二) 7】 5.給定數列?xn?如下：x1?1，xn?3xn?1?2(?1)n?1，n?2,3,…。 2 試問x101是幾位數？ (五） 。【95(二) 5】

參考數據：log102?0.3010,log103?0.4771,log107?0.8451

6.若拋物線y?x2?k與橢圓9x2?16y2?144有四個相異交點，則常數k的範圍為 （六） 。【92(二) 6】

7.設a是實數，方程式x4?(3?2a)x2?2x?a2?2a?0的根都是實根，則a的範圍為 (六) 。【93(二) 6】 8.若x是正數，且x?4，x?【92(二) 5】

9.設a,b為實數，若函數f(x)?(acosx?bsinx)cosx有最大值3及最小值?1，則a之值為 （三） 。【93(二) 3】

149x?，則的最小值為 (五) 。

94?x9x?110.若u, v, w, x, y, z能使下圖各行、各列及兩個對角線的和都相等。則uvw? （五） 。

2 5 z 【92(二) 5】

11.設a,b,c為某三角形之三邊長，試證：(a2?b2?c2)2?2(a4?b4?c4)。（16分）

【93(一) 1】

?x0?1?a12.給定實數a?0。平面上點Pn(xn,yn), n?0,1,2,3,?, 滿足?及

y?1?a?0?xn?1?2xn?3yn1limlogOPn之值n?0,1,2,3,? 。試求。（OP?n的 n表示原點到點Pn??ny?3x?2ynn?n?13 y v x u w 距離）(13分)【94(一) 4】 知識補給：遞迴數列 練習題：

1. 如果方程x2+ax+b=0與x2+px+q=0有一個公根，求以它們的相異根為根的二

次

方程．

2. x取什麼值時，不等式

成立？