直线方程的一般形式

直线方程的一般形式

直线方程的一般形式

教师：前边，我们研究了直线方程的两点式、斜截式、点斜式和截距式，现在请同学们思考这样一个问题： ［投影显示问题1］

问题1 已知点P的坐标为（2，m），点Q的坐标为（n，3）。试求直线PQ的方程。

学生1：此题有误，因为当m＝3，且n＝2时，点P和点Q重合，所求的直线不确定。

教师：很好，那么我们考虑点P和点Q不重合时直线AB的方程。

y?mx?2。 ?3?mn?2y?mx?2学生3：（1）当m≠3时，且n≠2时，方程才是； ① ?3?mn?2学生2：应用直线方程的两点式可知直线PQ的方程为（2）当m＝3时，且n≠2时，方程是y＝3； ② （3）当n＝2时，且m≠3时，方程是x＝2。 ③ 学生4：运用方程的两点式可知当n≠2时，直线PQ的方程为

y?m?3?m(x?2) ④ n?2教师：很好，我们将方程①和方程④作一比较，你会有何发现？

学生5：方程④优于方程①，因为④比①的作用范围广；方程④实际上包括了方程①和方程②。

教师：从考虑①和④的联系与区别出发，你有何想法？

（留给学生少许思考时间后，个别学生已经有了想法，举手要求发言） 教师：我们能否将①、②、③予以综合，给出一个在点P和点Q不重合的条件下都成立的方程呢？

（此时，举手的学生更多了。）

学生6：可以，将方程①变为下列方程即可 （n－2）（y－m）＝（3－m）（x－2） ⑤

教师：很好，在m＝3和n＝2不同时成立的条件下，表示直线的方程⑤属于哪种类型的方程呢？

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直线方程的一般形式

（对于此问题学生有点茫然，不知从哪个角度给出方程的归属） 教师：大家可以从方程两边的代数式类型的角度出发。 学生7：是整式方程。 教师：几元几次？

学生7：二元一次或一元一次方程。 教师：为什么？

学生7：因为⑤等价于（m－3）x＋（n－2）y－mn＝0 ⑥

而其中m、n为常数，当x－3、n－2都不为0时，⑥显然是关于x和y的二元一次方程；当x－3、n－2中仅有一个为0时，则⑥为关于x或y的一元一次方程。

教师：很好，为了统一起见，当m－3、n－2中仅有一个为0时，我们将⑥也可以看作关于x和y的二元一次方程，这就表明，直线PQ的方程是关于x、y的二元一次方程。那么，是否任意一条直线L的方程都是二元一次方程呢？ 学生众：应该是的。

教师：为什么呢？……对于直线L我们如何确定它的方程呢？

学生8：我们可在L的边上找出两个不同的点A和B。然后借助于A、B的坐标确定出该直线的方程，然后，考察这个方程是否为二元一次方程。 教师：哪位同学能将学生8的想法落到实处？

学生9：若A、B两点的横坐标相同，高为a，则L的方程为x＝a，显然可以看作二元一次方程；当A、B的纵坐标相同时，设为b，则AB的方程为y＝b，这也可以看作二元一次方程；当A、B的横坐标和纵坐标均不相同时，设A、B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则…… 教师：能否将A、B的坐标简化一下呢？

（等学生沉默片刻后，教师将手指向投影中的问题1）

学生10：当A、B的横坐标和纵坐标均不相同时，必可在直线L上取点P（2，m），Q（n，3），则L的方程为⑥，显然是二元一次方程。 教师：还有没有其他的想法？

学生11：可以从点斜式去考虑，由于直线L一定存在斜率…… 学生齐喊：不一定！

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直线方程的一般形式

学生11：……噢，对不起，但直线L一定有倾斜角α，当α＝90°时，L平行于y轴（说到此处，教师手指y轴），不，应是L垂直于x轴，此时L上每一点的横标相同，设为m，则L的方程为x＝m，显然为二元一次方程；当α≠90°时，则该直线的斜率为tg α，再在L上取一点A（m，n），则L的方程为y－n＝tg α·（x9m），即tg α·x－y＋tg α·m－n＝0，这也是二元一次方程。 学生12：也可以从直线方程的斜截式出发去考虑。 教师：很好，以上讨论表明了什么？

学生13：任何直线的方程总可以表示成关于x、y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0的形式。

教师：其中，字母A、B、C有何限制？ 学生14：A和B不同时为0也就A2＋B2≠0。 教师：那么，方程①、④怎么是分式方程呢？

学生齐喊：不对，方程①、④仍然是整式方程中的二元一次方程。因为m、n是常数。

教师：好！我们现在反过来考虑，是否关于x、y的任何二元一次方程Ax＋By＋C＝0总表示直线呢？当然，其中，A2＋B2≠0，为什么？ 学生15：应该是的，因为当B≠0时，方程可等价变形为y＝?显然是表示斜率为k=?ACx?。这BBAC,在y轴上的截距为－的直线；当B＝0时，A≠0，BBC则方程可以变形为x＝－，它表示与x轴垂直的直线。

A学生16：也可以从直线方程的斜截式去论证。 教师：当A、B都为0时情形如何？

学生：当A、B都为0时，需要考察C，若C＝0，则方程表示整个坐标平面；而C≠0时，方程无意义。

教师：很好，我们以上的讨论表明，关于x、y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0表示直线（其中，A2＋B2≠0）。那么方程一定，直线是否惟一确定呢？ 学生齐喊：是的。

教师：好，我们将关于x、y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0就叫做直线方程的一般式（其中，A2＋B2≠0）。

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直线方程的一般形式

［投影显示问题2］

问题2 已知直线经过点A（6，－4），且斜率为－下列形式（1）点斜式；（2）一般式；（3）截距式。

（学生动笔作答，教师课堂巡视，点拨、答疑、纠错、点评。然后提问，得到了正确答案：（1）y＋4＝－

4，试求此直线方程的34xy（x－6）；（2）4x＋3y－12＝0；（3）??1） 334教师：请大家思考，关于x、y的二元一次方程和直线是否是一一对应的关系呢？

学生17：不对，因为直线的方程具有多种形式。 教师：那么，直线一定，其方程的一般式是否惟一确定？

学生15：不一定，例如问题2中的直线可能是4x＋3y－12＝0，也可以是8x＋6y－24＝0等等。

教师：直线方程的一般式Ax＋By＋C＝0中含有三个字母A、B、C，那么欲求直线方程的一般式，是否需要直线的三个独立条件呢？ 学生齐喊：不需要。 （投影显示问题3）

问题3 已知直线Ax＋By＋6＝0在x、y轴上的截距分别为－2和3，试求A和B的值。

学生18：因为截距都存在，所以可将方程化为截距式：

xy??1，进而66??AB可以求得A＝3，B＝－2。

学生19：已知直线经过（－2，0）和（0，3），将这两点的坐标代入方程也可求得A、B的值。 （投影显示问题4）

问题4 已知3a＋2b＝5，其中a、b为实常数，求证：直线ax＋by－10＝0必过一个定点。

（学生思考、教师巡视，2分钟后，大约一半的学生举手要求发言，教师将直线方程写成下列形式： a（x）＋b（y）－10＝0

此时，几乎全班学生都举手要求发言）

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