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第1课时 集合的概念及运算
【考点导读】
1. 了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能选择自然语言，图形语言，集合语言
描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．
2. 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义． 3. 理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个集合的交集与并集；理解在给定集合中一
个子集补集的含义，会求给定子集的补集；能使用文氏图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．
4. 集合问题常与函数，方程，不等式有关，其中字母系数的函数，方程，不等式要复杂一
些，综合性较强，往往渗透数形思想和分类讨论思想． 【基础练习】
1.集合{(x,y)0?x?2,0?y?2,x,y?Z}用列举法表示{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1)}． 2.设集合A?{xx?2k?1,k?Z}，B?{xx?2k,k?Z}，则A?B??．
{0,2} 3.已知集合M?{0,1,2}，N?{xx?2a,a?M}，则集合M?N?____________．
4.设全集I?{1,3,5,7,9}，集合A?{1,a?5,9}，CIA?{5,7}，则实数a的值为____8或2___． 5. 已知集合A?[1,4),B?(??,a)，若A?B?A，则实数a的取值范围____________．
[4,??)
6. 已知集合M?{x|1?x?0},N?{x|11?x?0}，则图中
{x ____ . ?1?x?1} 阴影部分所表示的集合是
【范例解析】
例1. 设a,b?R，集合{1,a?b,a}?{0,,b}，求b?a的值.
ab第6题
分析：利用集合中元素互异性和集合相等性质，得到集合中对应元素的关系.
?b??a解：由题知，a?0， a?b?0，则??1，所以 ?aa?b?1?b?a??1，解得?，所以b?a?2.
?b?1点评：本题以集合中元素的性质为载体，考察学生对条件的把握分析能力，以寻找解题的突破口.
例2.已知集合A?{x0?ax?2?6}，B?{x?1?2x?4}.
（1） 若A?B?A，求实数a的取值范围；
（2） 集合A，B能否相等？若能，求出a的值；若不能，请说明理由. 分析：（1）对a进行分类讨论，利用数轴求a的取值范围. 解：?B?{x?1?2x?4}?{x?12?x?2}，A?{x0?ax?2?6}?{x?2?ax?4}.
①当a?0时，A?R，所以A?B不可能；
1
1?2???,?24?a2②当a?0时，A?{x??x?}，若A?B，则?解得a?4.
4aa??2.??a1?4??,?42?2③当a?0时，A?{x?x??}，若A?B，则?a解得a??8.
aa??2?2.??a综上所得，a的取值范围为(??,?8)?[4,??).
(2)分析一：求出满足B?A时a的取值范围，再与（1）取交集. 解法一：①当a?0时，A?R，所以B?A成立；
1?2???,?24?a2②当a?0时，A?{x??x?}，若B?A，则?解得0?a?2.
aa?4?2.??a1?4??,?42?a2③当a?0时，A?{x?x??}，若B?A，则?解得?1?a?0.
2aa???2.??a综上，B?A时，?1?a?2.
?A?B?A?B且B?A，?若A?B，则a?(?1,2]且a?(??,?8)?[4,??)，矛盾.
所以，集合A与B不可能相等.
分析二：利用两个相等集合中元素的对应关系，建立等量关系. 解法二：①当a?0时，A?R，所以B?A；
1?2???,?24?a2②当a?0时，A?{x??x?}，若B?A，则?无解.
4aa??2.??a③当a?0时，A?{x4a?x??2a}，若B?A，显然不成立.
综上，集合A与B不可能相等.
点评：在解决两个数集关系问题时，应合理运用数轴帮助分析与求解.另外，在解含参数的不等式（方程）时，要对参数进行分类讨论，分类时要遵循不重不漏的分类原则，然后对每一类情况都要给出问题的解答.
2
例3.（1）已知R为实数集，集合A?{xx2?3x?2?0}.若B?CRA?R，
B?CRA?{x0?x?1或2?x?3}，求集合B；
（2）已知集合M?{a,0}，N?{xx2?3x?0,x?Z}，且M?N?{1}，记P?M?N，写出集合P的所有子集.
分析：（1）先化简集合A，由B?CRA?R可以得出A与B的关系；最后，由数形结合，利用数轴直观地解决问题.
（2）求出N，由M?N?{1}，可知1?M，解得a，进而求出P.
解：（1）?A?{x1?x?2}，?CRA?{xx?1或x?2}.又B?CRA?R，A?CRA?R，可得A?B.
而B?CRA?{x0?x?1或2?x?3}，?{x0?x?1或2?x?3}?B. 借助数轴可得B?A?{x0?x?1或2?x?3}?{x0?x?3}. （2）由x2?3x?0，得0?x?3；又x?Z，故N?{1,2}. 由M?{a,0}且M?N?{1}，可得a?1.?M?{1,0}，
故P的子集为：?，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}.
点评：（1）研究数集的相互关系时，可通过数轴示意，借助直观性探求，易于理解.（2）含有n个元素的集合，共有2n个子集，2n?1个真子集.另注意空集的情况. 例4.已知函数f(x)?x2?px?q，集合A?{xf(x)?x}，集合B?{xf[f(x)]?x}. （1）求证：A?B；
（2）若A?{?1,3}，求集合B.
分析：（1）要证明A?B，根据定义，只要证A中任一元素都是B中的元素即可； （2）由A?{?1,3}，可以求出p，q的值，从而求出B.
解：（1）设x0是集合A中的任一元素，即x0?A.?A?{xf(x)?x}，? x0?f(x0)， 即有f[f(x0)]?f(x0)?x0.?x0?B.故A?B.
（2）?A?{?1,3}?{xx2?px?q?x}，??1，3是方程x2?(p?1)x?q?0的两个根，
3
?1?(p?1)?(?1)?q?0,?p??1,2???f(x)?x?x?3. ???9?(p?1)?3?q?0,?q??3.因为集合B中的元素是方程f[f(x)]?x的根，也就是(x2?x?3)2?(x2?x?3)?3?x的根. 方程整理得(x2?2x?3)(x2?3)?0，解得x??1,3,3,?3，即B?{?1,3,3,?3}. 点评：本题考查集合语言与集合思想在解决方程问题时的运用，在解答过程中，应脱去集合符号和抽象函数符号的“外衣”，显出本质的数量关系，要不断实施各种数学语言间的相互转换. 【反馈演练】
1．设集合A??1,2?，B??1,2,3?，C??2,3,4?，则?A?B?UC=_________． 2．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q={a?b|a?P,b?Q},若P?{0,2,5},Q?{1,2,6}，
则P+Q中元素的个数是____8___个．
3．已知集合A＝{－1，3，2m－1}，集合B＝{3，m2}．若B?A，则实数m＝ 1 ． 4．若集合M＝{0，l，2}，N＝{(x，y)|x－2y＋1≥0且x－2y－1≤0，x，y ∈M}，则N中
元素的个数为 ______4____个．
5．设f(n)＝2n＋1(n∈N)，P＝{1，2，3，4，5}，Q＝{3，4，5，6，7}，记P＝{n∈N|f(n)∈P}，Q＝{n∈N|f(n)∈Q}，则(P∩CNQ)∪(Q∩CNP)＝___________. {0,3} 6．若集合
1????1??A??yy?x3,?1?x?1?,B??yy?2?,0?x?1?x????????????，则A∩B等于??1,1?．
7．已知集合A??xx?a?1?，B??xx2?5x?4?0?，若A?B??，则实数a的取值范围
(2,3) 是 .
8．已知A，B，C为三个集合，若A?B?B?C，给出下列结论： ①A?C；②C?A；③A?C；④A??． 其中正确结论的有_______①______．
提示：由A?B?B?C知，A?B?B,A?B?C?A?B?C．
9．已知集合A?{xx2?x?2?0}，B?{x2?x?1?4}，C?{xx2?bx?c?0}，若集合A，
B，C满足(A?B)?C解
：
由
??，(A?B)?C?R，求b，c的值. 知
：
A?{x(x?1)(x?2)?0}?{x?2?x?1}题，
B?{x1?x?3}.?A?B?{x?2?x?3}.
?(A?B)?C??，(A?B)?C?R，?C?eR(A?B).?C?{xx??2或x?3}.
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