几何 第1讲 直线型面积（一） - 图文

第一讲 直线型面积（一）

教学目标

1. 熟练运用直线型面积的最基本性质——等积变形； 2. 熟练掌握直线型面积模型： （1）等积变形 （2）鸟头模型

（3）任意四边形模型 （4）梯形“蝴蝶”模型 （5）相似模型 （6）燕尾定理模型

知识点拨

直线型面积求解是在以三角形、长方形、正方形、梯形等一些规则图形为基础上进行的。 最基本的思想是等积变形。 一、等积变形

①等底等高的两个三角形面积相等；

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图S1:S2?a:b

ABS1aS2b

CD

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图S△ACD?S△BCD；

反之，如果S△ACD?S△BCD，则可知直线AB平行于CD．

④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．

二、鸟头定理

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．

如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图 ⑴(或D在BA的延长线上，E在AC上)， 则S△ABC:S△ADE?(AB?AC):(AD?AE)

DAADEEBC

BC

三、任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：

DAS2BS1OS3CS4

①S1:S2?S4:S3或者S1?S3?S2?S4 ②AO:OC??S1?S2?:?S4?S3?

蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．

例题精讲

模块一：等积变形

1

例题1

(三帆中学)长方形ABCD的面积为36cm2，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积是多少？

【巩固】 在边长为6厘米的正方形ABCD内任取一点P，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，

D分别与P点连接,求阴影部分面积． A P CB

【巩固】 (2007首届全国资优生思维能力测试)ABCD是边长为12的正方形，如图所示，P是内部任意一点，

BL?DM?4、BK?DN?5，那么阴影部分的面积是__________．

LAB

P K N

DCM

2

例题2

(人大附中入学试题)在长方形ABCD中，AD?15cm，AB?8cm，四边形OEFG的面积是9cm2，求阴影总面积．

【巩固】 如右图，长方形ABCD的长是8厘米，宽是5厘米，阴影部分的面积和是12平方厘米，求四边形

OEFG的面积是多少平方厘米？

AD

O

E G

CBF

3

例题3

(华杯2004年试题)如图，有三个正方形的顶点D、G、K恰好在同一条直线上，其中正方形GFEB的边长为10厘米，求阴影部分的面积． DCGFOQHABEKP

【巩固】 两个正方形如右图表示，大正方形ABCD的边长是10cm，求图中阴影?BFD的面积是多少？

ADGFBCE

(2007年湖北省“创新杯”数学邀请赛决赛试题)如下图，BCEF是平行四边形，三角形ABC是直角三角形，BC长8厘米，AC长7厘米，阴影部分面积比三角形4

例题4

ADH的面积大于12平方厘米，则HC?__________厘米．

【巩固】 O是长方形ABCD内一点，已知?OBC的面积是5cm2，?OAB的面积是2cm2，求?OBD的面积是

多少？

AOPB

DC

5

例题5

(2007年六年级希望杯二试试题)如图，三角形田地中有两条小路AE和CF，交叉处为D，张大伯常走这两条小路，他知道DF?DC,且AD?2DE．则两块地ACF和CFB 的面积比是_________．