01绪论

第一章 数学建模概论

§1.1数学与数学模型

数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学. 数和形是数学研究的最基本的对象，自然界无不可以用数和形以及它们的发展和变化形态及规律加以描述的，因此，数学是无时不在、无处不在的。不回顾数学历史的辉煌，仅看当今，现代化的生产手段方便、快捷、高效，无一不包含数学的贡献，现代化的产品比比皆是、层出不穷，哪一件离得开数学的支撑? “科学技术是生产力”，而数学是生产力发展的基石和源泉.当今信息时代的一个重要特点是数学的应用向一切领域渗透，高科技与数学的关系日益密切，产生了许多与数学相接结合的新学科.如数学化学、数学生物学、数学地质学、数学社会学，等等.“信息时代高科技的竞争本质上是数学的竞争。”“当今如此受到称颂的‘高科技’本质上是一种数学技术”.

数学的产生和发展一直和数学模型（Mathematical Model）紧密相联的.什么是数学模型呢？我们常见的模型有儿童玩具、人物塑像、作战沙盘、风洞中的飞机、地质图、地形图等等.模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物.数学模型是为了一个特定目的，根据一个现实对象的内在规律，做出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构.三千多年前创立的欧几里德几何就是一个很好的数学模型.近代牛顿创立的万有引力定律、开普靳三大定律、爱因斯坦的狭义相对论等都是在当今科学技术的很多领域发挥着巨大作用的数学模型.从科学、工程、经济、管理等角度看，数学模型就是用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立的能近似刻画并“解决”实际问题的一个强有力的数学工具.

数学模型具有预测、判别、解释三大作用，其中预测功能是数学模型价值的最重要的体现.为了说明这三大作用，下面举例如下.

例1 谷神星的发现

1764年,瑞士波奈特哲学家出版了《自然观察》一书，德国人提丢斯在读了该书后,从中总结出一个级数,用于表示太阳与当时已发现的六颗行星的距离.后来波德修改为如下“提丢斯--波德”定则:

R?1?(4?3?2n) 10当n分别取值?10,0,1,2,4,5时,从上述公式可以计算出太阳与水星、金星、地球、火星、木星和土星的近似距离分别为0.400292968、0.7、1.0、1.6、5.2、10.0个天文单位.人们很自然地思考为什么n?3时没有行星对应？

1801年元旦之夜，意大利人皮亚齐用望远镜发现了一颗光线暗弱的新天体.当时许多正在寻找新行星的天文学家们获此消息后异常兴奋,因为从该天体的运行特点分析,它可能是一颗新行星.遗憾的是皮亚齐由于生病,不得不中断了已进行六个星期的观察,当他痊愈后却搜遍苍穹也不见这颗星的踪影.为了重新找到这颗星星,德国年轻数学家高斯应用皮亚齐的观察资料、提丢斯--波德”定则和基于万有引力定律的轨道计算法，算出了这颗星星的轨道及太阳与它的平均距离，它的轨道在火星与木星之间.1802年1月1日夜间,人们根据数学家高斯的计算结果和预言终于又找到了这颗曾经跟丢了的后来被命名为谷神星的星星.

继谷神星发现之后,数学家们应用数学模型又计算预测出了海王星、冥王星的存在和位

置，接着天文工作者才在天空中找到它们.

从这个例子可见,数学模型的预测功能就是用数学模型的知识和规律预测未来发展,为人们的行为提高指导.

例2 跑步问题

如果某人在任何一个5 min的时间区间内均不跑500m,试问他能否恰好用10 min跑完1000m?

有人认为用5min跑慢一点、而用5min跑快一点，因此他可以恰好用10min跑完1000m；也有人直观上感到在题目的要求下不可能用10min跑1000m.如何判断这两种答案哪个正确呢？我们可以建立数学模型来解决这一问题.

设?0,t?内跑过的距离为s(t),显然s(t)是时间t的广义单调增加的连续函数,且s(0)?0,如果假设恰好用10min跑完1000m,那么s(10)?1000.构造连续函数f(t)?s(t?5)?s(t)?500,易知f(0)?s(5)?500,f(5)?500?s(5),因此f(0)?f(5)??(500?s(5))2?0.如果f(0)?f(5)?0,那么f(0)?0或f(5)?0,恒有s(5)?500,这与条件“在任何一个5 min的时间区间内均不跑500m”矛盾. 如果f(0)?f(5)?0,根据连续函数的零点定理,必存在t0?(0,5),使f(t0)?0,即s(t0?5)?s(t0)?500,这表明从时刻t0开始到时刻t0?5为止的5min内跑了500m,故仍然与题目中的条件相悖.所以, 在题目的要求下不可能用10min跑1000m.

从上述例子可知, 数学模型的判断功能就是用数学模型来判断原来知识、认识的可靠性.

例3 随机事件的频率稳定性 在概率论发展的早期，人们发现，虽然个别随机事件在某次试验中可以出现也可以不出现，但是在大量重复试验中却呈现出明显的规律性，即某个随机事件出现的频率在某个范围内摆动称之为“频率稳定性”.这是什么原因呢？曾经很长一段时期未得到理论上的解释.历史上，贝努里（Bernoulli）第一个研究了这个问题.

他提出了一种“在同样条件下进行重复试验或观察”的数学模型—-贝努里概型.在贝努里试验中，若以?n记n次试验中事件A出现的次数，则定性无非是指当n增大时，频率

?nn?nn便是A出现的频率，所谓频率稳

接近于某个固定的常数.这个固定的常数就是事件A在一

次试验中发生的概率p.当时已经知道，?n是随机变量，它服从二项分布

P??n?k??Cnkpkqn?k,q?1?p,i?0,1,?,n

其数学期望E?n?np，方差D?n?npq.这在一定程度上帮助贝努里进一步认识了频率性质.但是他更需要认识的是n非常大时?n或大，故研究?n不太方便，还是直接研究

?nn?nn的

?nn的性质.显然，当n很大时，?n一般也会很

为宜.因为E?nn?p,D?nn?pq,所以当n??时,n频率的数学期望不变,而方差则趋于0.他知道方差为0的随机变量一定是常数,于是自然预期频率应该趋于常数p.但是频率

?nn是随机变量,关于它的极限又将如何提法呢?经过艰苦

的努力, 贝努里在1713年发表的一篇论文中(这是概率论的第一篇论文!)提出并证明了贝努里大数定律:对任意的??0,都有

??n?limP?p?????1 n??n??这是一大类概率论极限定理—大数定律中的第一个.贝努里概型与贝努里大数定律从理论上

完全解释了“频率稳定性”问题.

该例说明了数学模型的解释功能就是用数学模型说明事物发生的原因.

§1.2 数学建模

实际问题的，因此,如何建立合理有效的这就是数学建模（Mathematical Modeling）问题.

下面先举一个简单的数学建模例子——“鸡兔同笼问题”.一户农家的鸡兔同笼，鸡兔的头共有8个，鸡兔的腿共有26只，问鸡、兔各有多少只?

鸡兔同笼问题建立数学模型的基本步骤为:

(1).做出假设:按正常情况考虑，鸡长1只头2条腿，兔长1只头4条腿. (2).用符号表示有关量:用x表示鸡的个数，y表示兔的个数. (3).用初等代数，列出数学式子（二元一次方程）:

??x?y?8?2x?4y?26(4).求解得到数学解答:x=3, y=5.

(5).回答原问题: 该农家的笼中有3只鸡、5只兔.

一般来说，数学建模是指为了构建数学模型而进行的准备、假设、建立、求解、分析、检验和应用的全过程.显然，几乎一切科学研究都与数学建模紧密相联的，首先研究和建立模型，然后才在实际系统上实现。理工科大学生都学过的经典牛顿力学就是最辉煌的一个建模实例.

应用数学方法解决实际问题，不仅需要数学素质，而且需要有关专业知识，因此某领域的专家只有具备了相应的数学素质，或者数学研究者只有基本掌握了该领域的相应专业知识，或者两方面的专家共同努力，才能成功地完成该领域的有关数学建模工作。

(1)准备：了解实际背景，明确建模目的，搜集有关信息，掌握对象特征.

(2)假设: 针对问题特点和建模目的做出合理的、简化的假设在合理与简化之间做出折中.(3)建模: 用数学的语言、符号描述问题,发挥想象力,使用类比法,尽量采用简单的数学工具.

(4)求解: 应用各种数学方法、数学软件和计算机技术.(5)分析: 例如结果的误差分析、模型对数据的稳定性分析等.

(6)检验: 与实际现象、数据比较，检验模型的,合理性、适用性. (7)应用: 应用数学模型对事物进行预测、判断和解释.

我们鉴别所建立的数学模型的好坏的方法就是让它接受实践的检验.因此，建模常常是一个“检验—修改—再检验—再修改?”的多次反复渐趋完善的过程.具体可用下述流程图来描述.

数学建模是一种积极的思维活动,其中有逻辑思维,也有非逻辑思维.但是,在数学建模中大量被采用的还是抽象、归纳、演绎、类比这几种逻辑思维方法。下面举几个例子来说明.

例4 哥尼斯堡七桥问题

18世纪初,普鲁士哥尼斯堡镇有一条河,河中有两个小岛,人们建了七座桥将岛与岸连通.(图1-2) 哥尼斯堡的居民很感兴趣如下问题:一个人能否从岛上或岸上某点出发恰好经过每座桥一次回到原出发点?

当时七桥问题是著名的难题,1736年,欧拉用数学建模巧妙地把它解决了. 欧拉将两岛和两岸抽象为4个点,将7座桥抽象为7条线,于是得到七桥问题的数学模型,即图1-3.

原问题转化为一笔画出图1-3的几何问题（必须且只须经过每条边一次）.不难发现, 一笔画的图形,有起点、终点和中间交点. 因为起点的连线可以只出不进,终点的连线可以只进不出,所以起点或终点的连线可以为奇数条.当起点和终点重合时,起点或终点的连线必为偶数条. 中间交点的连线总是一进一出,故必须为偶数条.但是图1-3中A点的连线是5条，B、C、D三点的连线都是3条.因此,不能一笔画出图1-3,即七桥问题无解.

抽象是从事物的个性中找出共性、是剥去表象抓住本质的逻辑思维方法.在上面的建模例子中,岛和岸的大小形状、桥的长宽及形状都不是本质性的，欧拉将岛和岸抽象为点,将桥抽象为线，抓住了问题的本质或共性,从而彻底解决了七桥问题.

例5 开普勒第三定律的发现

1609年，开普勒（1571-1630）从第谷?布拉赫（1546-1601）的20年的行星运动观测资料中归纳出开普勒第一、二定律之后，他从当时已发现的六大行星的有关资料中整理成一张表格，如表1-1所示.

表1-1 六大行星运行周期和椭圆轨道的长半轴 行星 水星 金星 地球 火星 木星 周期T 0.241 0.615 1.000 1.881 11.862 长半轴a 0.387 0.723 1.000 1.524 5.203 T2 0.058 0.378 1.000 3.54 140.7 a3 0.058 0.378 1.000 3.54 140.85