（课标通用）2018年高考数学一轮复习课时跟踪检测30理

→→→→

12．在△ABC中，A＝90°，AB＝1，AC＝2，设点P，Q满足AP＝λAB，AQ＝(1－λ)AC，→→

λ∈R.若BQ·CP＝－2，则λ＝________.

2答案：

3

→→→→→

解析：∵BQ＝AQ－AB＝(1－λ)AC－AB， →

CP＝AP－AC＝λAB－AC，

→→

由BQ·CP＝－2，可得

→→→→

[(1－λ)AC－AB]·(λAB－AC)＝－2.

→→→2→2→

化简，得(1－λ)λAC·AB－(1－λ)AC－λAB＋AB·

→→→→

→

AC＝－2，

→→→2→2

又AC·AB＝0，AC＝4，AB＝1，

2

∴－(1－λ)×4－λ×1＝－2，解得λ＝. 3

[冲刺名校能力提升练]

1．[2017·湖南衡阳八中高三月考]已知点A，B，C在圆x＋y＝1上运动，且AB⊥BC，

2

2

→→→

若点P的坐标为(2,0)，则|PA＋PB＋PC|的最大值为( )

A．6 C．8 答案：B

解析：因为AB⊥BC，点A，B，C在圆x＋y＝1上， →→→

故AC过圆心O，PA＋PC＝2PO， →→→→→→→|PA＋PB＋PC|＝|2PO＋PB|＝|3PO＋OB|.

→→→→→

当PO与OB同向共线时，即B(－1,0)时，|PA＋PB＋PC|取得最大值7.故选B.

π??π

2．若函数f(x)＝2sin?x＋?(－2

3??6→→→

函数的图象交于B，C两点，则(OB＋OC)·OA＝( )

A．－32 C．16 答案：D

π??π

解析：函数f(x)＝2sin?x＋?(－2

3??6

5

2

2

B．7 D．9

B．－16 D．32

由f(x)＝0，解得x＝4，即A(4,0)，

过点A的直线l与函数的图象交于B，C两点，根据对称性可知，A是B，C的中点，所→→→以OB＋OC＝2OA，

→→→→→→22

所以(OB＋OC)·OA＝2OA·OA＝2|OA|＝2×4＝32.

→→→→→

3．在△ABC中，满足|AC|＝|BC|，(AB－3AC)⊥CB，则角C的大小为( ) A.C.π 32π 3

πB．

65πD． 6

答案：C

解析：设△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c， →→→

由(AB－3AC)⊥CB，可得

→→→→→→→(AB－3AC)·CB＝(AB－3AC)·(AB－AC) →→22

＝c＋3b－4AB·AC ＝c＋3b－4cbcos A

＝c＋3b－2(b＋c－a)＝0， 即b－c＋2a＝0.

→→22

又由|BC|＝|AC|可得a＝b，则c＝3a， 由余弦定理可得，

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

a2＋b2－c2a2＋a2－3a21

cos C＝＝＝－， 2

2ab2a2

2π

所以△ABC的内角C＝. 3

→→→22

4．已知A，B，C是圆x＋y＝1上的三点，且OA＋OB＝OC，其中O为坐标原点，则?OACB的面积等于________．

答案：

3 2

6

解析：如图所示，

→→→

由|OA|＝|OB|＝|OC|＝1知，?OACB是边长为1的菱形，且∠AOB＝120°. 33→→

∴S?OACB＝|OA||OB|sin 120°＝1×1×＝.

22

????5.[2017·江西五校联考]已知向量m＝?3sin ，1?，n＝?cos ，cos?.

4?44???

2

xxx(1)若m·n＝1，求cos?

?2π－x?的值；

?

?3?

(2)记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)cos

B＝bcos C，求函数f(A)的取值范围．

解：m·n＝3sin cos ＋cos 444＝

3x1x1?xπ?1

sin ＋cos ＋＝sin?＋?＋. 22222?26?2

xx2

x?xπ?1(1)∵m·n＝1，∴sin?＋?＝，

?26?2

π?1?π?2?xcos?x＋?＝1－2sin?＋?＝，

3???26?2∴cos?

?2π－x?＝－cos?x＋π?＝－1. ??3?2?3???

(2)∵(2a－c)cos B＝bcos C，由正弦定理，得 (2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C， ∴2sin Acos B＝sin Ccos B＋sin Bcos C， ∴2sin Acos B＝sin(B＋C)． ∵A＋B＋C＝π，

∴sin(B＋C)＝sin A，且sin A≠0， 1π2π

∴cos B＝，B＝，∴0＜A＜，

233

7

πAππ1?Aπ?∴＜＋＜，＜sin?＋?＜1. 62622?26?

?xπ?1又∵f(x)＝m·n＝sin?＋?＋，

?26?2

3?Aπ?1

∴f(A)＝sin?＋?＋，故1＜f(A)＜.

2?26?2

?3?故函数f(A)的取值范围是?1，?.

?2?

→

6．在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1,0)和点B(－1,0)，|OC|＝1，且∠AOC＝x，其中O为坐标原点．

3π→→

(1)若x＝，设点D为线段OA上的动点，求|OC＋OD|的最小值；

4

→?π?(2)若x∈?0，?，向量m＝BC，n＝(1－cos x，sin x－2cos x)，求m·n的最小值及

2??对应的x值．

解：(1)设D(t,0)(0≤t≤1)， 由题意知，C?－

??22?，?， 22?

22?→→?

所以OC＋OD＝?－＋t，?，

2??2

12→→212

所以|OC＋OD|＝－2t＋t＋＝t－2t＋1

22＝?t－?

?2?21

?＋(0≤t≤1)， 2?2

22→→

时，|OC＋OD|的最小值为. 22

所以当t＝

→

(2)由题意得C(cos x，sin x)，m＝BC＝(cos x＋1，sin x)， 则m·n＝1－cosx＋sinx－2sin xcos x

2

2

8

π??＝1－cos 2x－sin 2x＝1－2sin??2x＋4??. 因为x∈???0，ππ2??π5π?，所以4≤2x＋4≤4，

所以当2x＋πππ

4＝2，即x＝8时，

sin??π?

2x＋4???取得最大值1. 所以m·n的最小值为1－2，此时x＝π

8

.

9