（课标通用）2018年高考数学一轮复习课时跟踪检测30理

课时跟踪检测(三十)

[高考基础题型得分练]

→→2

1．已知点A(－2,0)，B(3,0)，动点P(x，y)满足PA·PB＝x，则点P的轨迹是( ) A．圆 C．双曲线 答案：D

→→

解析：PA＝(－2－x，－y)，PB＝(3－x，－y)， →→222

∴PA·PB＝(－2－x)(3－x)＋y＝x，∴y＝x＋6.

→→→→2

2．在△ABC中，(BC＋BA)·AC＝|AC|，则△ABC的形状一定是( ) A．等边三角形 C．直角三角形 答案：C

→→→→2

解析：由(BC＋BA)·AC＝|AC|，得 →

B．等腰三角形 D．等腰直角三角形 B．椭圆 D．抛物线

AC·(BC＋BA－AC)＝0，

→→→→→→

即AC·(BC＋BA＋CA)＝0，即2AC·BA＝0， →→

∴AC⊥BA，∴A＝90°.

→→

又根据已知条件不能得到|AB|＝|AC|， 故△ABC一定是直角三角形．

→→

3．[2017·广东深圳调研]在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝23，则AB·AC＝( ) A．23 C．－23 答案：D

解析：由余弦定理，得

B．2 D．－2

→→→

AB2＋AC2－BC222＋22－?23?21

cos A＝＝＝－，

2AB·AC2×2×22

→→→→?1?所以AB·AC＝|AB|·|AC|cos A＝2×2×?－?＝－2，故选D.

?2?

4．已知|a|＝2|b|，|b|≠0，且关于x的方程x＋|a|x－a·b＝0有两相等实根，则向量a与b的夹角是( )

πA．－ 6

πB．－ 3

2

1

C.

π 32πD． 3

答案：D

解析：由已知，可得Δ＝|a|＋4a·b＝0， 122

即4|b|＋4×2|b|cos θ＝0，∴cos θ＝－.

22π

又∵0≤θ≤π，∴θ＝. 3

→1→

5．[2017·浙江杭州质量检测]设O是△ABC的外心(三角形外接圆的圆心)，若AO＝AB31→＋AC，则∠BAC＝( ) 3

A．30° C．60° 答案：C

→→→

解析：取BC的中点D，连接AD，则AB＋AC＝2AD.

→→

由题意，得3AO＝2AD，∴AD为BC的中线且O为重心．又O为外心，∴△ABC为正三角形，∴∠BAC＝60°，故选C.

1312

6．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的函数f(x)＝x＋|a|x＋a·bx在R上有极值，则

32向量a与b的夹角的范围是( )

B．45° D．90°

2

?π?A.?0，?

6??

C.?

?π?B．?，π?

?6??π2π?D．?，?

3??3

?π，π?

??3?

答案：C

解析：设a与b的夹角为θ. 1312

∵f(x)＝x＋|a|x＋a·bx，

32∴f′(x)＝x＋|a|x＋a·b， ∵函数f(x)在R上有极值，

∴方程x＋|a|x＋a·b＝0有两个不同的实数根，

2

2

a2即Δ＝|a|－4a·b＞0，∴a·b＜. 42又∵|a|＝2|b|≠0，

2

a241a·b1

∴cos θ＝＜2＝，即cos θ＜. |a||b|a22

2

?π?又∵θ∈[0，π]，∴θ∈?，π?，故选C.

?3?

→?→→?→ABAC?→ABAC1→→?＋7．若非零向量AB与AC满足·BC＝0且·＝，则△ABC为( )

→??|→→→2

|AB||AC|?AB||AC|?A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰非等边三角形 答案：C

→??→ABAC?→?＋解析：由·BC＝0知，

→??|→

?AB||AC|?→→

角A的平分线与BC垂直，∴|AB|＝|AC|； 由

AC11·＝知，cos A＝，∴A＝60°. →→22|AB||AC|

AB→→

∴△ABC为等边三角形．

→→

8．在Rt△ABC中，CA＝CB＝3，M，N是斜边AB上的两个动点，且MN＝2，则CM·CN的取值范围为( )

?5?A.?2，? ?2?

C．[3,6] 答案：D

B．[2,4] D．[4,6]

→→→

解析：设MN的中点为E，则有CM＋CN＝2CE， →

CM·CN＝[(CM＋CN)2－(CM－CN)2]

→21→2→21＝CE－NM＝CE－.

42

32→

又|CE|的最小值等于点C到AB的距离，即，

2

→1→→

4

→→

?32?21→→

故CM·CN的最小值为??－＝4.

?2?2

3

→→

当点M与点A(或B)重合时，|CE|达到最大，易知|CE|的最大值为13， 2

→→

故CM·CN的最大值为6， →→

因此CM·CN的取值范围是[4,6]．

?32?22??＋?2??2?

＝

→→→→

9．[2017·广东广州综合测试]在△ABC中，若AB·AC＝AB·CB＝2，则边AB的长等于________．

答案：2

→→→→→→→→→→

解析：由题意知，AB·AC＋AB·CB＝4，即AB·(AC＋CB)＝4，即AB·AB＝4，∴|AB|＝2.

10．[2017·天津十二区县重点中学联考]在边长为1的正方形ABCD中，M为BC的中点，→→

点E在线段AB上运动，则EC·EM的最大值为________．

3答案：

2

解析：以点A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则

C(1,1)，M?1，?，

2

??

1?

?

设E(x,0)，x∈[0,1]，

1?1→→?2

则EC·EM＝(1－x,1)·?1－x，?＝(1－x)＋，

2?2?12

当x∈[0,1]时，(1－x)＋单调递减，

23→→

当x＝0时，EC·EM取得最大值.

2

11．[2017·山西太原模拟]已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(3，－1)，则|2a－b|的最大值与最小值的和为________．

答案：4

解析：由题意，可得

??a·b＝3cos θ－sin θ＝2cos?θ＋?，

6

?

?

则|2a－b|＝?2a－b?＝4|a|＋|b|－4a·b＝所以|2a－b|的最大值与最小值的和为4.

222π

π??8－8cos?θ＋?∈[0,4]， 6??

4