四川省绵阳市2021届新高考第四次适应性考试数学试题含解析

∴最小正周期T?2??? . 2（2）由（1）知f?x??2sin?2x?????3??， ∴f?A??2sin?2A???????3 3?∴sin?2A?∴2A?当A?即

?????3??5?3??2A?? ，又??3333?2或2A??3??3=2???. 解得A?或A?

233?32时，由余弦定理得a2?b2?c2?2bccosA

??3?12?c2?2?1?ccos?3， 解得c=2.

此时S?ABC?当A?即

11?3. bcsinA??1?2sin?2232?22时，由余弦定理得a2?b2?c2?2bccosA.

??3?12?c2?2?1?ccos?2，解得c=2. 此时S?ABC?【点睛】

11?2. bcsinA??2?1?sin?2222本题主要考查了平面向量数量积的坐标运算、正弦函数的周期性，考查余弦定理、三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和分类讨论思想，属于基础题．

21．如图，VABC为等腰直角三角形，AB?AC?3，D为AC上一点，将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A1?BCD，且使得A1在底面BCD的投影E在线段BC上，连接AE.

（1）证明：BD?AE； （2）若tan?ABD?1，求二面角C?BA1?D的余弦值. 22 2【答案】（1）见解析；（2）【解析】 【分析】

（1）由折叠过程知A1E与平面BCD垂直，得A1E?BD，再取AA1中点M，可证AA1与平面MBD垂直，得AA1?BD，从而可得线面垂直，再得线线垂直；

（2）由已知得D为AC中点，以E为原点，EB,EA1所在直线为x,z轴，在平面BCD内过E作BC的 垂线为y轴建立空间直角坐标系，由已知求出线段长，得出各点坐标，用平面的法向量计算二面角的余弦．【详解】

（1）易知A1E与平面BCD垂直，∴A1E?BD， 连接AA1，取AA1中点M，连接MD,MD，

由DA?DA1,BA?BA1得AA1?MD,AA1?MB，MBIMD?M， ∴AA1?平面MBD，BD?平面MBD，∴AA1?BD， 又AA1IA1E?A1，∴BD?平面AA1E，∴BD?AE； （2）由tan?ABD?1，知D是AC中点， 2uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur令BE??BC，则AE?AB?BE?(1??)AB??AC，

uuuruuuruuur1uuuruuuruuuruuur由BD?AD?AB?AC?AB，BD?AE，

2uuuruuur1uuuruuur2∴((1??)AB??AC)?(AC?AB)?0，解得??，故BE?22,CE?2．

32以E为原点，EB,EA1所在直线为x,z轴，在平面BCD内过E作BC的垂线为y轴建立空间直角坐标系，如图，

则B(22,0,0),C(?2,0,0),A1(0,0,1),D(?232,,0)， 44uuururuuur9232BA1?(?22,0,1)，BD?(?,,0)，设平面A1BD的法向量为m?(x,y,z)，

44vvuuu?m?BA1??22x?z?0ur?则?vuuu，取x?1，则m?(1,3,22)． v9232x?y?0?m?BD??44?又易知平面A1BC的一个法向量为n?(0,1,0)，

rurrurrm?n32cos?m,n??u?rr?．

2mn1?32∴二面角C?BA1?D的余弦值为【点睛】

本题考查证明线线垂直，考查用空间向量法求二面角．证线线垂直，一般先证线面垂直，而证线面垂直又要证线线垂直，注意线线垂直、线面垂直及面面垂直的转化．求空间角，常用方法就是建立空间直角坐标系，用空间向量法求空间角．

22．我国在2018年社保又出新的好消息，之前流动就业人员跨地区就业后，社保转移接续的手续往往比较繁琐，费时费力.社保改革后将简化手续，深得流动就业人员的赞誉.某市社保局从2018年办理社保的人员中抽取300人，得到其办理手续所需时间（天）与人数的频数分布表： 时间 人数 2． 2?0,2? 15 ?2,4? 60 ?4,6? 90 ?6,8? 75 ?8,10? 45 ?10,12? 15 （1）若300名办理社保的人员中流动人员210人，非流动人员90人，若办理时间超过4天的人员里非流动人员有60人，请完成办理社保手续所需时间与是否流动人员的列联表，并判断是否有95%的把握认为“办理社保手续所需时间与是否流动人员”有关. 列联表如下 办理社保手续所需 时间不超过4天 办理社保手续所需 时间超过4天 总计 210 90 300 60 流动人员 非流动人员 总计 （2）为了改进工作作风，提高效率，从抽取的300人中办理时间为?8,12?流动人员中利用分层抽样，抽取12名流动人员召开座谈会，其中3人要求交书面材料，3人中办理的时间为?10,12?的人数为?，求出

?分布列及期望值.

n(ad?bc)2 附：K?(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)2P?K2?k0? 0.10 0.05 0.010 0.005 k0 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】（1）列联表见解析，有；（2）分布列见解析，【解析】 【分析】

3. 4（1）根据题意，结合已知数据即可填写列联表，计算出K2的观测值，即可进行判断；

（2）先计算出时间在?8,10?和?10,12?选取的人数，再求出?的可取值，根据古典概型的概率计算公式求得分布列，结合分布列即可求得数学期望. 【详解】

（1）因为样本数据中有流动人员210人，非流动人员90人，所以办理社保手续 所需时间与是否流动人员列联表如下： 办理社保手续所需时间与是否流动人员列联表 办理社保手续所需 45 时间不超过4天 办理社保手续所需 165 时间超过4天 总计 210 90 300 60 225 30 75 流动人员 非流动人员 总计 300?(45?60?30?165)2100结合列联表可算得K???4.762?3.841.

75?225?210?90212有95%的把握认为“办理社保手续所需时间与是否流动人员”有关.

（2）根据分层抽样可知时间在?8,10?可选9人，时间在?10,12?可以选3名， 故??0,1,2,3，

31C9C92C32127?则P(??0)?3?，P(??1)?， 3C1255C12551203C9C3C9C3271P(??2)?3??，P(??3)?， 3C12220C12220可知分布列为

? 0 1 2 3