四川省绵阳市2021届新高考第四次适应性考试数学试题含解析

1?1?根据题意，是一个等比数列模型，设a1?100,q?,an?0.1，由an?0.1?100???10?10?解得n?4，再求和. 【详解】

根据题意，这是一个等比数列模型，设a1?100,q?n?1，

1,an?0.1， 10?1?所以an?0.1?100????10?解得n?4，

n?1，

所以

S4?a11?q41?q??4??1??100?1??????10??104?1 . ????1901?10故选：D 【点睛】

本题主要考查等比数列的实际应用，还考查了建模解模的能力，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．两光滑的曲线相切，那么它们在公共点处的切线方向相同．如图所示，一列圆Cn:x2??y?an??rn2 (an>0，rn>0，n=1，2…)逐个外切，且均与曲线y=x2相切，若r1=1，则a1=___，rn=______

2

【答案】【解析】 【分析】

5 n 4第一空：将圆C1:x2??y?a1??1与y=x联立，利用??0计算即可；

22第二空：找到两外切的圆的圆心与半径的关系an?an?1?rn?1?rn，再将Cn:x2??y?an??rn2与y=x22联立，得到an?rn?21，与an?an?1?rn?1?rn结合可得rn为等差数列，进而可得rn. 4【详解】

当r1=1时，圆C1:x2??y?a1??1，

2与y=x联立消去y得y??2a1?1?y?a1?1?0，

222则???2a1?1??4a1?1?0，解得a1?22??5； 4由图可知当n?2时，an?an?1?rn?1?rn①， 将Cn:x2??y?an??rn2与y=x联立消去y得

22y2??2an?1?y?an2?rn2?0，

则???2an?1??4an?rn22?2??0，

整理得an?rn?211122，代入①得rn??rn?1??rn?1?rn， 444整理得rn?rn?1?1， 则rn?r1??n?1??n. 故答案为：【点睛】

本题是抛物线与圆的关系背景下的数列题，关键是找到圆心和半径的关系，建立递推式，由递推式求通项公式，综合性较强，是一道难度较大的题目.

5；n. 4x2y214．若双曲线2?2?1(a?0,b?0)的两条渐近线斜率分别为k1，k2，若k1k2??3，则该双曲线的离心

ab率为________. 【答案】2 【解析】 【分析】

b2b2由题得k1k2??2??3,再根据2?e2?1求解即可.

aa【详解】

bbbb2x2y2双曲线2?2?1的两条渐近线为y??x,可令k1??,k2?,则k1k2??2??3,所以

aaaaabb22?e?1?3,解得e?2. 2a故答案为：2. 【点睛】

本题考查双曲线渐近线求离心率的问题.属于基础题.

?x?0?15．已知x，y满足不等式组?x?y?1?0，则z?x?2y的取值范围为________．

?x?3y?1?0?【答案】[1,??) 【解析】 【分析】 【详解】

画出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，易知z?x?2y在点(1,0)处取得最小值，即zmin?1?2?0?1，所以由图可知z?x?2y的取值范围为[1,??)．

a4?16．已知正项等比数列?an?中，a2g3 21299,aga?，则a13?__________． 7941422【答案】【解析】 【分析】

利用等比数列的通项公式将已知两式作商，可得q=2，再利用等比数列的性质可得a3?比数列的通项公式即可求解. 【详解】

3，再利用等22a4?由a2g99,aga?， 7924214101a?a?1?55所以79?q?q???，解得q?.

2a2?a4?2?a2ga4?932?aa?，所以， 33242210103?1?3所以a13?a3q?2????12.

2?2?2故答案为：

3 122【点睛】

本题考查了等比数列的通项公式以及等比中项，需熟记公式，属于基础题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．设函数f(x)?(a?x)ex?bx?clnx.

（1）若a?3，c=0时，f(x)在(0,??)上单调递减，求b的取值范围； （2）若a?2，b?4，c?4，求证：当x?1时，f(x)?16?8ln2． 【答案】（1）(??,?e]（2）见解析 【解析】 【分析】

(1) f(x)在(0,??)上单调递减等价于f?(x)?0在(0,??)恒成立，分离参数即可解决.(2)先对f?x?求导，化简后根据零点存在性定理判断唯一零点所在区间，构造函数利用基本不等式求解即可. 【详解】

（1）a?3，c=0时，f(x)?(3?x)e?bx，

xf?(x)??ex?(3?x)ex?b?(2?x)ex?b，

∵f(x)在(0,??)上单调递减． ∴(2?x)ex?b?0，b?(x?2)ex． 令g(x)?(x?2)e，

xg?(x)?ex?(x?2)ex?(x?1)ex，

0?x?1时，g?(x)?0；x?1时，g?(x)?0，

∴g(x)在(0,1)上为减函数，在(1,??)上为增函数． ∴g(x)min?g(1)??e，∴b??e． ∴b的取值范围为(??,?e]．

（2）若a?2，b?4，c?4时，f(x)?(2?x)e?4x?4lnx，

xf?(x)??ex?(2?x)ex?4?令h(x)?e?x44???(1?x)?ex??， xx??4，显然h(x)在(1,??)上为增函数． x2又h(1)?e?4?0，h(2)?e?2?0，∴h(x)有唯一零点x0．