2012年全国中考数学压轴题分类解析汇编 专题3 面积问题

2012年全国中考数学压轴题分类解析汇编

专题3：面积问题

21. （2012黑龙江大庆8分） 已知半径为1cm的圆，在下面三个图中AC=10cm，AB=6cm，BC=8cm，在图2中∠ABC=90°．

（1）如图1，若将圆心由点A沿A?C方向运动到点C，求圆扫过的区域面积； （2）如图2，若将圆心由点A沿A?B?C方向运动到点C，求圆扫过的区域面积； （3）如图3，若将圆心由点A沿A?B?C?A方向运动回到点A． 则I）阴影部分面积为_ ___；Ⅱ）圆扫过的区域面积为__ __． 【答案】解：（1）由题意得，圆扫过的面积=DE×AC+πr2=（20+π）cm2。

（2）圆扫过的区域面积=AB的面积+BC的面积－一个圆的面积。

结合（1）的求解方法，可得所求面积

=（2r×AB+πr2）+（2r×BC+πr2）﹣πr2=2r（AB+BC）+πr2=（28+π）cm2。 （3）I）

5512 cm2；Ⅱ）（

2636+π）cm2。

【考点】圆的综合题，运动问题，锐角三角函数定义。

【分析】（1）根据图形可得，圆扫过的面积等于一个长为AC，宽为直径的矩形面积，加上一个圆的面积，从而求解即可。

（2）根据（1）的计算方法，由点A沿A→B→C方向运动到点C，求圆扫过的区域面积，等于AB的

面积+BC的面积﹣一个圆的面积。

（3）作出如下图形，利用解直角三角形的知识求出HE、HF、DN、MN，则可求出阴影部分的两条直

角边，也可得出扫描后的面积：

由题意得，EF=2r=2cm，HE?HF?EFsin?EHF?EFsin?BACEFtan?EHF=52?EFtan?BAC?2?68=32cm，

cm。

1

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MD=2r=2cm，

DN?MN?MDtan?DNMMDsin?DNM??EFtan?ACBEFsin?ACB?2??10386=83cm，

cm。

故可得扫过的面积

=图2的面积+S△HEF+S△DMN+S矩形EFMD =28+π+

32++

38353=（

2636+π）cm2。

52阴影部分的两条直角边分别为：AB﹣r﹣HF=故阴影部分的面积为：?cm、AC﹣r﹣MN=

113cm，

151155（cm2）。 ?=2231222. （2012湖北咸宁12分）如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），动点A以每秒1个单位长的速度，从点O出发沿x轴的正方向运动，M是线段AC的中点．将线段AM以点A为中心，沿顺时针方向旋转90?，得到线段AB．过点B作x轴的垂线，垂足为E，过点C作y轴的垂线，交直线BE于点D．运动时间为t秒．

（1）当点B与点D重合时，求t的值； （2）设△BCD的面积为S，当t为何值时，S?254?

（3）连接MB，当MB∥OA时，如果抛物线y?ax2?10ax的顶点在△ABM内部（不包括边），求a的取值范围．

【答案】解：（1）∵?CAO??BAE?90?，∴?CAO??ABE。∴Rt△CAO∽Rt△ABE。

∴

CAAB?AOBE，即

2ABAB?t4，解得t?8。

1212t，AE?2。

t2)?254 （2）由Rt△CAO∽Rt△ABE可知：BE?当0＜t＜8时，S?当t＞8时，S?1212CD?BD?12(2?t)(4?t2?4)?，解得t1?t2?3。

CD?BD?(2?t)(254，

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解得t1?3?52，t2?3?52（为负数，舍去）。 当t?3或3?52时，S?254。

12CO?2。

（3）过M作MN⊥x轴于N，则MN?当MB∥OA时，BE=MN=2，OA=2BE=4。 ∵y?ax2?10ax=a?x?5??25a，

∴抛物线y?ax2?10ax的顶点坐标为（5，?25a）。 ∴它的顶点在直线x?5上移动。

∵直线x?5交MB于点（5，2），交AB于点（5，1）， ∴1＜?25a＜2。∴?2252＜a＜?125。

【考点】动点问题，旋转的性质，矩形的性质，直角三角形两锐角的关系，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，二次函数的性质。 【分析】（1）由Rt△CAO∽Rt△ABE得到

CAAB?AOBE，根据点B与点D重合的条件，代入CA=2AM=2AB，AO=1·t=

t，BE（DE）=OC=4，即可求得此时t的值。

（2）分0＜t＜8和t＞8两种情况讨论即可。

（3）求出抛物线y?ax2?10ax的顶点坐标为（5，?25a），知它的顶点在直线x?5上移动。由抛

物线y?ax2?10ax的顶点在△ABM内部（不包括边）得1＜?25a＜2，解之即得a的取值范围。 23. （2012湖北荆州12分）如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连接AB、AE、BE．已知tan∠CBE=，A（3，0），D（﹣1，

310），E（0，3）．

（1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标； （2）求证：CB是△ABE外接圆的切线；

（3）试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（4）设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度（0＜t≤3）时，△AOE与△ABE重叠部分的面积为s，求s与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围．

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【答案】解：（1）∵抛物线经过点A（3，0），D（﹣1，0），∴设抛物线解析式为y=a（x﹣3）（x+1）。

将E（0，3）代入上式，解得：a=﹣1。

∴抛物线的解析式为y=－（x﹣3）（x+1），即y=﹣x2+2x+3。 又∵y=－x+2x+3=－（x－1）+4，∴点B（1，4）。 （2）证明：如图1，过点B作BM⊥y于点M，则M（0，4）．

在Rt△AOE中，OA=OE=3，

∴∠1=∠2=45°，AE= OA2+OE2 =32。 在Rt△EMB中，EM=OM﹣OE=1=BM，

∴∠MEB=∠MBE=45°，BE= EM2+BM2 =2。 ∴∠BEA=180°﹣∠1﹣∠MEB=90°。 ∴AB是△ABE外接圆的直径。 在Rt△ABE中，tan ?BAE=BEAE=13=tan? CBE，∴∠BAE=∠CBE。

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在Rt△ABE中，∠BAE+∠3=90°，∴∠CBE+∠3=90°。∴∠CBA=90°，即CB⊥AB。 ∴CB是△ABE外接圆的切线。

（3）存在。点P的坐标为（0，0）或（9，0）或（0，﹣）。

31（4）设直线AB的解析式为y=kx+b．

将A（3，0），B（1，4）代入，得?∴直线AB的解析式为y=﹣2x+6。

过点E作射线EF∥x轴交AB于点F，当y=3时，得x=

32?3k+b=0?k+b=4，解得??k=?2?b=6。

，∴F（

32，3）。

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