卓越联盟自主招生试卷评析

2011年“卓越联盟”自主招生笔试试卷评析与思考

蔡丽冰 陈淑贞 陈清华

福建师范大学数学与计算机科学学院(350007)

高考和自主招生同时出现在这个时代的舞台上,不可避免地要被一些教育工作者进行比较.在笔者眼里它们就好似雪与梅,正所谓“梅须逊雪三分白,雪却输梅一段香”,高考和自主招生在为高校选拔人才上各自扮演着重要的角色.当然,自主招生作为一种新的高校招生方式受到不少高校的青睐,这几年越来越多的高校加入自主招生的行列,并组成各自的联盟.下面就四大联盟之一——“卓越”联盟2011年自主招生的相关信息作一介绍. 一、考试概述

2010年12月,北京理工大学、重庆大学、大连理工大学、东南大学、哈尔滨工业大学、华南理工大学、天津大学、同济大学、西北工业大学9所以工科见长的国家“211工程”和“985工程”重点建设高校,签署了《卓越人才培养合作框架协议》.本着“追求卓越、共享资源”的原则,9校成立了“卓越人才培养高校”,被媒体简称为“卓越联盟”.

2011年2月26日“卓越联盟”展开第一次自主招生考试,在全国各地均设立了考点,如福建省的考点设在福州.考生自由选择考点,可同时填报两所志愿学校.今年,共有三万多名考生参加“卓越联盟” 9校联考.

考试在一天内完成,数学科目被安排在当日下午,考试时间为90分钟.考试由第三方机构命题,考题呈现工科学校的选拔特色,注重考查考生综合素质和能力,关注学生的数学素养.获得认可的考生录取优惠最高可达40分.

二、试卷评析

下面先给出“卓越联盟”自主招生2011年数学试卷评析.

(1)向量a,b均为非零向量,?a?2b??a,?b?2a??b则a,b的夹角为（ ）. (A)

?6

(B)

?3

(C)

2?3 (D)

5?6

评析:本题可直接根据向量数量积的定义计算,求得a,b的夹角为易入手.

(2)已知sin2??????nsin2?,则

n?1

ntan(?????)tan(?????)?3.试题难度不大,考生解题时容

等于（ ）.

n?1(A)

n?1n?1n?1n?1评析：这道题考查三角函数中的基本公式以及正余弦的和差角公式,虽是一些基本公式的运用但突出

(B)

(C)

n (D)

考查了学生化归与转化的思想,值得注意的是考生容易跳进正切函数和差角公式的陷阱,实际上只要化切为弦,利用正余弦函数的和差角公式,通过一定的计算就可以得到答案为D.

(3)在正方体ABCD?A1B1C1D1中,E为棱AA1的中点, F是棱A1B1上的点,且A1F:FB1?1:3,则异面直线EF与BC1所成角的正弦值为（ ）.

1531555355(A)

(B)

(C) (D)

评析：本题考查的是异面直线夹角的求法,解题方法和思路很常规,将异面直线平移到同一个平面后易求得异面直线EF与BC1所成角的正弦值为问题,需要考生的空间想象能力.

(4) i为虚数单位,设复数z满足z?1,则

z?2z?2z?1?i

155.求解过程将三维正方体问题转化为平面上解三角形的

2的最大值为（ ）.

(A) 2?1

(B) 2?2

(C) 2?1 (D) 2?2

评析：本题的亮点是将复数与最值交汇,乍看下,比较繁杂,但通过“分母有理化”后便可转化为

z?1?i.此题可将模长化为3?2?a?b?利用均值不等式,用代数法求解；还可将模长化为

?a?1?2??b?1?2,转化为点?a,b?与点?1,1?的距离,利用数形结合思想,将代数问题几何化,可得最大

值为2?1.较于高考题,不难看出对考生计算能力的高要求.

(5)已知抛物线的顶点在原点,焦点在x轴上,?ABC三个顶点都在抛物线上,且?ABC的重心为抛物线的焦点,若BC边所在直线的方程为4x?y?20?0,则抛物线方程为（ ）.

(A) y2?16x

(B) y2?8x (C) y2??16x (D) y2??8x 评析：本题借助直线与抛物线相交、联立方程组、重心的性质等知识便可求得抛物线方程为y2?16x.试题融合解析几何和平面几何知识点,突出考查数形结合思想、函数与方程思想.试题考查的虽是基础知识,但解题过程就像一条羊肠小道,需要考生一定的积累和数学能力.

(6)在直三棱柱ABC?A1B1C1中,底面边长与侧棱长均等于2,且E为CC1的中点,则点C1到平面AB1E的距离为（ ）.

3222(A)3

(B)2

(C) (D)

评析：求点到面的距离是立体几何中的常见题型,本题没办法直接作出点C1到平面AB1E的垂线段,

22需间接利用等体积法VC1?AB1E?VA?B1C1E,可得距离为

,考查了学生化归与转化的思想和空间想象能

力.本题还可建系,通过三点式平面方程以及点到平面的距离公式求解.

(7)若关于x的方程

xx?4?kx有四个不同的实数解,则k的取值范围为（ ）.

2(A) ?0，1?

(B) ?，1??4??1?

(C) ??1?，??? ?4?(D) ?1，???

评析：依托方程根的求解问题,本题考查分类与整合思想.化简绝对值将原方程转化为一元二次方程,再讨论根的情况:当k?0时,x?0是方程的一个解,当x?0时,有一正根,当x?0时,必须要有两个负根,分类讨论得k???1?，???.分类复杂,考查学生代数推理能力. ?4?(8)如图,?ABC内接于⊙O,过BC中点D作平行于AC的直线l,l交AB于E,交⊙O于G、F,

交⊙O在A点的切线于P,若PE?3,ED?2,EF?3,则PA的长为（ ）.

(A)5

(B)6 (D) 22

(C)7 评析：本题将圆与直线的相关性质发挥得淋漓尽致.利用

?PAE~?BDE,求得BE?6,再通过相交弦定理与射影定理求得

AP?6.本题将直线与圆相切、三角形相似、相交弦定理、射影定理巧妙地融为一体,能全面考查考生

观察问题、分析问题的能力和运算求解能力.

(9)数列?an?共有11项,a1?0,a11?4,且ak?1?ak?1,k?1,2,?,10．满足这种条件的不同数列的个数为( ).

(A)100 (B)120

(C)140 (D)160

评析：本题突出考查考生应用数学知识和数学思想方法分析、推理、解决问题的能力.设问的方式新颖,以数列为背景考查计数问题,是一道数列与组合内涵交汇的好题.通过分析、推理可知每一项都是在后一项的数值上加1或减1,从a1?0,到a11?4,共十一项,必须经历七次加1与三次减1.满足条件的不同

3数列个数为C10?120.

(10)设?是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为

k2?7的旋转,?表示坐标平面关于y轴的镜面反

234射．用??表示变换的复合,先做?,再做?,用?表示连续k次的变换,则???????是( ).

(A) ?

4

(B) ?5

(C) ???2? 2 (D) ??2

评析：本题涉及平面的旋转与反射,看似复杂,但通过画图即可得到答案.“坚持数学应用,考查应用意识”是近年来考试命题坚持的一个命题方向,这道题既突出考查了学生应用数学解决问题的能力,又侧重检验了学生数学思维的灵活性.下面给出严格证明,易验证：?2?1,?37?1,?????,因此

36???????234?????????634???????634????94?????96?????????62???2．

(11)设数列?an?满足a1?a,a2?b,2an?2?an?1?an． (Ⅰ)设bn?an?1?an,证明：若a?b,则?bn?是等比数列； (Ⅱ)若lim?a1?a2???an??4,求a,b的值．

n?? 解：（1）易证?bn?是以b?a为首项,以??1??an?????2?n?112为公比的等比数列.

1?1?2?b?a?. ??b?a??n?23?3??2??3 （2）由（1）得an?1?b?a?.累加得ann??2?1?44?1??lim?a1?a2???an??lim??b?a?n??a?b??????b?a???4, n??n??3?99?2?????3?1?2b?a?0,?3?a?6,. 3 ????4?b??3.??a?b??4.?9评注：本题将数列与极限有机结合起来,考查学生对数列通项公式的求解、求和公式的推导、求极限的方法等,探求解题思路的过程对考生的分析、解决问题的能力和运算求解能力有一定的要求.（2）中,数列?an?通项公式的推导还可用特征方程2x2?x?1?0进行求解.已知数列极限求参数值,只要利用待定系数法即可求得.数列极限问题与高等数学联系密切,成为高校自主招生考试的重点之一.

(12)在?ABC中,AB?2AC,AD是A的角平分线,且AD?kAC． (Ⅰ)求k的取值范围；

(Ⅱ)若S?ABC?1,问k为何值时,BC最短？

A 解：（1）

图1

CDB

如图1,设AC?a,DC?b,则AD?ka,AB?2a,由角平分线定理可知BD?2b,所以

a3?b?a．由cos?ADB??cos?ADC,得k?2?a?b22a2???0,4?．

???3?1?S??a?2a?sinA?1,??ABC2222（2）???9a?9ba?b?16?0——（1） 2?sin2A?cos2A?1.??????cosC?a?b?ka2ab2222,同时cosC?a?9b?4a6ab222,得到2b??2?k22?a2——（2）