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例说数学解题策略
如果我们在学习过程中长期处于题型的模仿性训练状态，而缺少自己的研究性学习和思考，对高考中所出现的一类背景新颖、构思精巧、思维与能力立意的试题就会显得束手无策，缺少解决的办法和思路.尽管题型的归类和常规问题的解决方法的归纳无疑对我们的考试是非常有帮助的，但是，我们永远也无法通过题型来覆盖所有数学问题.因此，在数学学习中，在我们熟练掌握各种常规问题的解题思想和方法后，还应着眼于自身数学思维能力的培养与提高，注重数学解题的思维策略的使用.
思维策略的价值就在于当我们面对一个问题，处于一筹莫展时，它给我们指引一个行动的方向，使我们拨开重重迷雾，发现解题的光明之路；当我们在在繁杂的运算中不能自拔时，思维策略会给我们指引一个挣脱运算的途径.
策略一：回到定义去（弄清题目所涉及的概念）
【例1】函数fM(x)的定义域为R，其定义如下：fM(x)???1,x?M（其中M为非空数集且M?，?R）
?0,x?M在实数集R上有两个非空真子集A,B满足A?B??，则函数F(x)?A. {0} B. {1} C.{0,1} D.?
fA?B(x)?1的值域为（ B ）
fA(x)?fB(x)?1【分析】新定义类问题，应关注对定义的理解，反复阅读直至确实理解后再做题.
6?)的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角【例2】（上海卷理14）将函数y?4?6x?x2?2(x??0，?(0????)，得到曲线C.若对于每一个旋转角?，曲线C都是一个函数的图像，则tanα的最大值为
__________.
6?)，它的图象是以（3，－2）为【分析】由y?4?6x?x2?2得：(x?3)?(y?2)?13，(x??0，22圆心，13为半径的一段圆弧.
设过原点且与曲线C相切的直线为y＝kx，当θ?0时，k?－
31＝，此时直线2kOC的倾斜角为β，即tanβ＝
3，当切线与y轴重合时，曲线上的点满足函数的定义，22 3即是一个函数的图象，再逆时针旋转时，曲线不再是一个函数的图象，旋转角为90°－β，则
?tanα?tan(90?β?)cotβ?【例3】（2009江西卷理12）设函数f(x)?构成一个正方形区域，则a的值为
若所有点(s,f(t))(s,t?D)ax2?bx?c(a?0)的定义域为D，
A．?2 B．?4 C．?8 D．不能确定 【分析】弄懂“所有点(s,f(t))(s,t?D)构成一个正方形区域”所指是本题的前提！ 明白其所指为“定义域与值域的相同区间长度相同”后，结合本函数的解析式可得：
b2?4ac4ac?b2，|a|?2?a，a??4，选B |x1?x2|?fmax(x)，?2a4a【例4】已知函数y?f(x),y?g(x)的导函数图象如下图，则y?f(x),y?g(x)的图象可能是（B）
【分析】 考虑导数的几何意义，依据两导函数图象可得原函数在x?x0处切线斜率相等，而且
y?f(x),y?g(x)的切线斜率一增一减.所以选B.
策略二：重新表述问题（使问题逐步变得清晰明了、简单熟悉）
【例5】过点A(1,0),B(4,4)且与直线l:x??1相切的圆有（ ）
A 0个 B 1个 C 2个 D 3个
【分析】可以按部就班地进行，先求出AB中垂线方程，设出圆心坐标和半径，用圆心到直线l距离等于到
A点的距离解方程，看解的个数.这样的计算量比较大，虽可以解决问题，但对于做选择题来讲并不理想.
注意到本题只问圆的个数并不需求出圆的方程，采取作图分析：圆心M所需满足条件：在AB中垂线上，且需满足圆心M到点A距离与到直线l距离相等（是在以A为焦点，l为准线的抛物线上），因此，问题可以重新表述为“AB中垂线与抛物线y?4x有几个交点？”而这从图形位置关系一目了然！ 【例6】（四川卷理9）已知直线l1:4x?3y?6?0和直线l2:x??1，抛物线y?4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是
22A.2 B.3 C.
1137 D. w. 516【分析】直线l2:x??1为抛物线y2?4x的准线，由抛物线的定义知，P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F(1,0)的距离.
故重新表述问题：为在抛物线y2?4x上找一个点P使得P到点F(1,0)和直线l2的距离之和最小，最小值为F(1,0)到直线l1:4x?3y?6?0的距离，即
dmin?|4?0?6|?2，故选择A.
5【例7】设函数f(x)?ax3?3x?1(x?R)，若对于任意的x???1,1?都有f(x)?0成立，则实数a的值为 【分析】本题若通过谈论函数f(x)的最小值来解决，相当于在解一道大题. ① （参变量分离）重新表述为“对于任意的x?[?1,0)都有a?有a?31?3成立，且对于任意的x?(0,1]都2xx31?成立，且对于x?0，1?0成立”. x2x3下面讨论求解：
若x?0，则不论a取何值，f?x??0显然成立； 当x?0 即x?(0,1]时，f(x)?ax3?3x?1?0可化为a?设g?x??31?3 2xx3?1?2x?31?1??1?'?gx?，则， 所以 在区间上单调递增，在区间gx0,,1?上单调???????x2x3x422?????1??2?递减，因此g?x?max?g???4，从而a?4；
当x?0 即x???1,0?时，f(x)?ax?3x?1?0可化为a?33?1?2x?31'?0 ?gx?，??x2x3x4g?x? 在区间??1,0?上单调递增，因此g?x?man?g??1??4，从而a?4，综上a?4
仍比较复杂，进一步思考，变换看问题的视角：
3②重新表述“在?1?x?1时f(x)?0恒成立”即“在?1?x?1时ax?3x?1恒成立”
3绘制函数y?ax与直线y?3x?1，由图像分析初步可得a?0，进一步分析可知临界态为y?3x?1恰为
1y?ax3的切线，所以设切点(x0,y0)，则3ax02?3且ax03?3x0?1，所以x0?,a?4
2依图的变化规律可得a?4.
【例8】已知函数定义在R上的函数f(x),g(x)，请把重新表述下列问题：
（Ⅰ）对任意x1?[1,??),总存在x2?[2,??),使得f(x1)?g(x2)成立, 求a的取值范围.； （Ⅱ）对任意x1?[1,??),总存在x2?[2,??),使得f(x1)?g(x2)成立, 求a的取值范围.； （Ⅲ）对任意x1?[1,??),总存在惟一的．．．x2?[2,??),使得f(x1)?g(x2)成立, 求a的取值范围. 【分析】略
策略三：分解与简化问题（由动到静、由复杂到简单）
?x?y?3?0?【例9】已知P(x,y)满足?y?4， Q是x轴上一个动点，?x?1?定点R(2,, 3则|PQ|?|QR|可以取到的最小值是 . 【分析】本问题涉及的是两个动点的折线段和求最小值，两个动点是解决问题的很大障碍，从方法论角度，我们可以通过分解简化问题来思考：先确定一个点，比如，先把点P确定，这样，就变成了如下的问题：求x轴上动点Q到两定点P,R距离之和最小值.如图所示，这是我们演练过的问题，可以通过对称，把QR转到QR'，如图，从而使问题转化为求|PQ|?|QR'|最小值.显然，三点共线时线段和最小. 这样我们就发现了求|PQ|?|QR|最小值就是求|PR'|的最小值. 【练习】：改求|PQ|?|PR|可以取到的最小值是 . 【分析】仍先把点P确定，则|PR|确定，当点Q是点P在x轴上的射影时，|PQ|取最小值.然后考虑使点P动起来，但是为了暂562654P32R1O12Q24683R'456时保证Q点静止不动，仅考虑点P在直线x?xp在阴影区域内的4线段上运动，观察易得点P到线段下端点时，|PQ|?|PR|最小.当直线x?xp向右移动时，|PQ|?|PR|减小，所以点P(1,2)使3P2R|PQ|?|PR|最小. （填写所有正确选项的序号）.
①菱形 ②有3条边相等的四边形 ④平行四边形 ③梯形 21【例10】连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是 OQ 12246⑤有一组对角相等的四边形 34
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