[山东专用]2014届高考数学（理）一轮复习专题集训：正弦定理和余弦定理 Word版含解析

正弦定理和余弦定理

一、选择题(每小题6分，共36分)

1.(2012·潍坊模拟)在△ABC中，“sinA>sinB”是“A>B”的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分要件 (C)充要条件

(D)既不充分也不必要条件

2.(预测题)△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c＝42，B＝45°，面积S＝2，则b＝( ) (A)5 (B)113

(C)41 (D)25 3

2

2

2

a＋b－c

3.在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边长，若＜0，则△ABC( )

2ab(A)一定是锐角三角形 (B)一定是直角三角形 (C)一定是钝角三角形 (D)是锐角或钝角三角形

4.(2012·济南模拟)已知△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，a＝2，b＝3，B＝60°，则A＝( ) (A)135°

(B)45°

(C)135°或45° (D)90°

5.若三角形三边长的比为5∶7∶8，则它的最大角和最小角的和是( ) (A)90° (B)120° (C)135° (D)150°

6.(2012·聊城模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a－b＝3bc，sinC＝23sinB，则A＝( )

(A)30° (B)60° (C)120° (D)150° 二、填空题(每小题6分，共18分)

7.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c＝ . 8.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若sinA，sinB，sinC成等比数列，且c＝2a，则cosB＝ .

9.在△ABC中，A＝30°，AB＝2，BC＝1，则△ABC的面积等于 . 三、解答题(每小题15分，共30分)

10.(2011·安徽高考)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a＝3，b＝2，1＋2cos(B＋C)＝0，求边BC上的高.

11.(2013·威海模拟)△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bcosA＝c·cosA＋

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a·cosC， (1)求角A的大小；

(2)若a＝7，b＋c＝4，求△ABC的面积. 【探究创新】

(16分)已知函数f(x)＝cos(2x＋π2

3)＋sinx

(1)求函数f(x)的单调递减区间及最小正周期；

(2)设锐角△ABC的三内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c＝6，cosB＝13，1

4，求b.

答案解析

1.【解题指南】利用正弦定理及三角形的边角间的关系解答. 【解析】选C.由正弦定理得：sinA>sinB?a>b?A>B. 2.【解题指南】由S＝1

2acsinB先求出a，再用余弦定理求b.

【解析】选A.由S＝1

2acsinB＝2

及c＝42，B＝45°， 得1

2×42a×sin45°＝2， 解得a＝1，

又b2

＝a2

＋c2

－2accosB＝1＋32－2×1×42×2

2

＝25， ∴b＝5.

3.【解析】选C.由已知及余弦定理得cosC<0，C是钝角，故选C. 4.【解析】选B.在△ABC中，由正弦定理得：ab

sinA＝sinB，

即

23sinA＝sin60°，∴sinA＝22

， 又∵a＝2<3＝b， ∴A

5.【解析】选B.设三边长为5x,7x,8x，最大的角为C，最小的角为A.

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C

2)＝－

f(

(5x)＋(8x)－(7x)1

由余弦定理得：cosB＝＝，

2×5x×8x2所以B＝60°，所以A＋C＝180°－60°＝120°.

6.【解题指南】由题目中已知等式的形式，利用正、余弦定理求解. bc

【解析】选A.由＝及sinC＝23sinB，

sinBsinC得c＝23b，

b＋c－a－3bc＋23bc3

∴cosA＝＝＝.

2bc2bc2∵A为△ABC的内角，∴A＝30°.

7.【解析】由A∶B∶C＝1∶2∶3且A＋B＋C＝π πππ

得A＝，B＝，C＝

632∴a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC πππ

＝sin∶sin∶sin＝1∶3∶2.

632答案：1∶3∶2

8.【解析】∵sinA，sinB，sinC成等比数列， ∴sinB＝sinA·sinC， 由正弦定理得，b＝ac， 由余弦定理得

a＋c－ba＋c－accosB＝＝ 2ac2aca＋4a－2a3

＝＝. 2

4a43答案：

4

9.【解析】由余弦定理得BC＝AB＋AC－2AB·ACcos30°， ∴AC－23AC＋3＝0.∴AC＝3.

1113

∴S△ABC＝AB·ACsin30°＝×2×3×＝.

2222答案：

3 2

2

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【方法技巧】正、余弦定理求解面积问题

(1)当给出三角形两个角的三角函数值及其中一个角所对的边长，求三角形的面积时，主要利用正弦定理、余弦定理和三角形面积公式，在求解过程中往往利用三角公式进行恒等变形.

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(2)当以向量为背景考查正、余弦定理的应用时，关键是把三角形的面积用向量表示出来，用正余弦定理求出边长.

10.【解析】由1＋2cos(B＋C)＝0和B＋C＝π－A，得 13

1－2cosA＝0，cosA＝，sinA＝，

22bsinA2

再由正弦定理，得sinB＝＝. a2

π22

由b＜a知B＜A，所以B不是最大角，B＜，从而cosB＝1－sinB＝. 22由上述结果知 sinC＝sin(A＋B)＝231

×(＋). 222

3＋1

. 2

设边BC上的高为h，则有h＝bsinC＝【变式备选】在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边长，若 (a＋b＋c)(sinA＋sinB－sinC)＝3asinB，求C的大小. 【解析】由题意可知， (a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab， 于是有a＋2ab＋b－c＝3ab， a＋b－c1即＝，

2ab2

1

所以cosC＝，所以C＝60°.

2

11.【解析】(1)∵2bcosA＝c·cosA＋a·cosC， ∴2cosAsinB＝sinCcosA＋cosCsinA， ∴2cosAsinB＝sin(A＋C)， ∴2cosAsinB＝sinB， 1

∵sinB≠0，∴cosA＝，

2π

又0

π222

(2)由余弦定理得：a＝b＋c－2bccos，

3∴7＝b＋c－bc，∴(b＋c)－3bc＝7， 代入b＋c＝4得bc＝3. 133

所以S△ABC＝bcsinA＝.

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【探究创新】

π2

【解析】(1)∵f(x)＝cos(2x＋)＋sinx

3ππ1－cos2x

＝cos2xcos－sin2xsin＋

3321311

＝cos2x－sin2x＋－cos2x 2222＝－

312π

sin2x＋，∴最小正周期T＝＝π， 222

ππ

令2kπ－≤2x≤2kπ＋(k∈Z)，

22ππ

得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，

44

ππ

∴f(x)的单调递减区间是 [kπ－，kπ＋](k∈Z).

44(2)由(1)f(x)＝－31

sin2x＋得： 22

C311

f()＝－sinC＋＝－， 2224∴sinC＝3

， 2

12221－()＝，

33

6×2

8

故b＝. 3

2238＝， 33

1

又cosB＝，∴sinB＝

3

∴

bcc·sinB＝，即b＝＝sinBsinCsinC

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