高考数学（理）大一轮复习习题：第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布列 课时达标检测（五十九） 二

12

P(X＝10)＝C13×??×?1－?＝，

22

?1????1???

????

1?

??

3838

21

P(X＝20)＝C23×??×?1－?＝， 22

1?

30P(X＝100)＝C33×??×?1－?＝，

22

?1???

??

1?

?

18

03

P(X＝－200)＝C03×??×?1－?＝. 22

?1???

??

1??

18

所以X的分布列为

X P 10 3 820 3 8100 1 8－200 1 8(2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i＝1,2,3)，则P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(X1?1?3

＝－200)＝.所以“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为1－P(A1A2A3)＝1－??＝1

8?8?1511511

－＝.因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是. 512512512

33115(3)数学期望E(X)＝10×＋20×＋100×－200×＝－. 88884这表明，获得分数X的均值为负，

因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大． 三、冲刺满分题

1．甲、乙两俱乐部举行乒乓球团体对抗赛．双方约定： ①比赛采取五场三胜制(先赢三场的队伍获得胜利，比赛结束)；

②双方各派出三名队员，前三场每位队员各比赛一场．已知甲俱乐部派出队员A1，A2，

A3，其中A3只参加第三场比赛，另外两名队员A1，A2比赛场次未定；乙俱乐部派出队员B1，B2，B3，其中B1参加第一场与第五场比赛，B2参加第二场与第四场比赛，B3只参加第三场比

赛．

根据以往的比赛情况，甲俱乐部三名队员对阵乙俱乐部三名队员获胜的概率如下表： B1 B2 B3 A1 5 62 36 7A2 3 42 35 6A3 1 31 22 3(1)若甲俱乐部计划以3∶0取胜，则应如何安排A1，A2两名队员的出场顺序，使得取

胜的概率最大？

(2)若A1参加第一场与第四场比赛，A2参加第二场与第五场比赛，各队员每场比赛的结果互不影响，设本次团体对抗赛比赛的场数为随机变量X，求X的分布列及数学期望E(X)．

52210

解：(1)设A1，A2分别参加第一场，第二场，则P1＝××＝，设A2，A1分别参加第

633273221

一场、第二场，则P2＝××＝，∴P1>P2，∴甲俱乐部安排A1参加第一场，A2参加第二

4333场，则以3∶0取胜的概率最大．

5221117

(2)比赛场数X的所有可能取值为3,4,5，P(X＝3)＝××＋××＝，P(X＝4)

63363318512121?2?3111215?1?319

＝C2×××＋×??＋C2×××＋×??＝，P(X＝5)＝1－P(X＝3)－P(X＝4)63336?3?63336?3?547

＝，∴X的分布列为 27

X P 3 7 184 19 545 7 277197209∴E(X)＝3×＋4×＋5×＝.

18542754

2．某茶楼有四类茶饮，假设为顾客准备泡茶工具所需的时间相互独立，且都是整数(单位：分钟)．现统计该茶楼服务员以往为100位顾客准备泡茶工具所需的时间t，结果如表所示．

类别 顾客数(人) 时间t(分钟/人) 铁观音 20 2 龙井 30 3 金骏眉 40 4 大红袍 10 6 注：服务员在准备泡茶工具时的间隔时间忽略不计，并将频率视为概率． (1)求服务员恰好在第6分钟开始准备第三位顾客的泡茶工具的概率；

(2)用X表示至第4分钟末服务员已准备好了泡茶工具的顾客数，求X的分布列及均值． 解：(1)由题意知t的分布列如下．

t P 2 1 53 3 104 2 56 1 10设A表示事件“服务员恰好在第6分钟开始准备第三位顾客的泡茶工具”，则事件A对应两种情形：

①为第一位顾客准备泡茶工具所需的时间为2分钟，且为第二位顾客准备泡茶工具所

需的时间为3分钟；

②为第一位顾客准备泡茶工具所需的时间为3分钟，且为第二位顾客准备泡茶工具所需的时间为2分钟．

13313

所以P(A)＝P(t＝2)×P(t＝3)＋P(t＝3)×P(t＝2)＝×＋×＝. 51010525(2)X的所有可能取值为0,1,2，

X＝0对应为第一位顾客准备泡茶工具所需的时间超过4分钟，所以P(X＝0)＝P(t＞4)

1

＝P(t＝6)＝；

10

X＝1对应为第一位顾客准备泡茶工具所需的时间为2分钟且为第二位顾客准备泡茶工

具所需的时间超过2分钟，或为第一位顾客准备泡茶工具所需的时间为3分钟，或为第一位顾客准备泡茶工具所需的时间为4分钟，

143243

所以P(X＝1)＝P(t＝2)·P(t＞2)＋P(t＝3)＋P(t＝4)＝×＋＋＝；

5510550

X＝2对应为两位顾客准备泡茶工具所需的时间均为2分钟，所以P(X＝2)＝P(t＝

111

2)·P(t＝2)＝×＝.

5525

所以X的分布列为

X P 0 1 101 43 502 1 25143147所以X的均值E(X)＝0×＋1×＋2×＝.

10502550