高考数学(理)大一轮复习习题：第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布列 课时达标检测(五十九) 二

课时达标检测（五十九） 二项分布与正态分布

一、全员必做题

1．若同时抛掷两枚骰子，当至少有5点或6点出现时，就说这次试验成功，则在3次试验中至少有1次成功的概率是( )

A.

12580665100 B. C.D. 729243729243

4?1??1?解析：选C 一次试验中，至少有5点或6点出现的概率为1－?1－?×?1－?＝1－＝

9?3??3?5?5?，设X为3次试验中成功的次数，则X～B?3，?，故所求概率P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1

9?9?

?5?0?4?3665，故选C. 0

－C3×??×??＝

?9??9?729

2．(2017·石家庄模拟)设X～N(1，σ)，其正态分布密度曲线如图所示，且P(X≥3)＝0.022 8，那么向正方形OABC中随机投掷20 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为( )

2

附：(随机变量ξ服从正态分布N(1，σ)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.954 4)．

A．12 076 B．13 174 C．14 056

D．7 539

2

解析：选B 由题意得，P(X≤－1)＝P(X ≥3)＝0.022 8， ∴P(－1

1

∴1－2σ＝－1，故σ＝1，∴P(0

2的点的个数为20 000×(1－0.341 3)＝13 174，故选B.

3．在一个质地均匀的小正方体的六个面中，三个面标0，两个面标1，一个面标2，将这个小正方体连续掷两次，若向上的数字的乘积为偶数，则该乘积为非零偶数的概率为( )

1815A. B. C. D. 491632

解析：选D 两次数字乘积为偶数，可先考虑其反面——只需两次均出现1向上，故两

?2?28若乘积非零且为偶数，

次数字乘积为偶数的概率为1－??＝；需连续两次抛掷小正方体的

?6?9

536511115

情况为(1,2)或(2,1)或(2,2)，概率为××2＋×＝.故所求条件概率为＝. 366636832

9

4．某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定．小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．

(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；

(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X，求X的分布列和数学期望． 5431解：(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”为事件A，则P(A)＝××＝.

65421511

(2)依题意得，X所有可能的取值是1,2,3.又P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝，P(X＝

6656542

3)＝××1＝.所以X的分布列为

653

X P 1125所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝.

6632

1 1 62 1 63 2 35．小辛参加某次知识竞赛，对于5道高难度的四选一的选择题，前3道题小辛做对每1

个题目的概率都为，后2道题由于不会，就都随便选择一个答案，已知每个题目能否做对

2是相互独立的．

(1)求这5道题目小辛至少做对1道的概率；

(2)若用X表示小辛做对的题目数，试求X的分布列和数学期望．

?1?3?3?29，

解：(1)5道题全做错的概率P＝??×??＝

?2??4?128

故至少做对1道的概率为1－P＝1－

9119＝. 128128

(2)由题意可知X的所有可能的取值为0,1,2,3,4,5.

P(X＝0)＝

9

； 128

12231

P(X＝1)＝C13×??×??×??＋??×C2××＝2242

?1????1????3????1???

14333

； 4128

212112132

P(X＝2)＝C23×??×??×??＋C3×??×??×C2××＋??×??＝

2242224

?1????1??1???

?1????1??1???

?3????1??1???

?1????1??1????1?14

13?1?44??1

3?1??1????3?

4623＝； 1286430

15

122221132

P(X＝3)＝C1＝； 3×??×??×??＋C3×??×??×C2××＋??×??＝

44?2??4?12864?2??2??4??2??2?

21231

P(X＝4)＝C23×??×??×??＋??×C2××＝2242

?1???

39

； 4128

P(X＝5)＝??3×??2＝

24

故X的分布列为

?1????1???

1. 128

X P 所以E(X)＝0×

0 9 1281 33 1282 23 643 15 644 9 1285 1 128933231591＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝2. 1281286464128128

二、重点选做题

1．为研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机选取100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100 km/h的有40人，不超过100 km/h的有15人；在45名女性驾驶员中，平均车速超过100 km/h的有20人，不超过100 km/h的有25人．

(1)完成下面2×2列联表，并判断有多大的把握认为“平均车速超过100 km/h与性别有关”？

男性驾驶员 女性驾驶员 总计 附：K＝

2

平均车速超过100 km/h 平均车速不超过100 km/h 总计 a＋bnad－bc2c＋da＋c0.150 2.072 0.100 2.706 b＋d，其中n＝a＋b＋c＋d.

0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828 P(K2≥k0) k0 0.050 3.841 (2)在被调查的驾驶员中，从平均车速不超过100 km/h的人中随机抽取2人，求这2人恰好是1名男性驾驶员和1名女性驾驶员的概率；

(3)以上述样本数据估计总体，从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车平均车速超过100 km/h且为男性驾驶员的车辆数为X，求X的分布列和数学期望E(X)．

解：(1)完成的2×2列联表如下：

平均车速超过100 km/h 平均车速不超过100 km/h 总计 男性驾驶员 女性驾驶员 总计 40 20 60 215 25 40 55 45 100 K＝

2

－55×45×60×40

≈8.249>7.879，所以有99.5%的把握认为“平均车速超

过100 km/h与性别有关”．

(2)平均车速不超过100 km/h的驾驶员有40人，从中随机抽取2人的方法总数为C40，记“这2人恰好是1名男性驾驶员和1名女性驾驶员”为事件A，则事件A所包含的基本事C15C2515×2525

件数为CC，所以所求的概率P(A)＝2＝＝.

C4020×3952

11

1525

1

1

2

(3)根据样本估计总体的思想，从总体中任取1辆车，平均车速超过100 km/h且为男402?2?性驾驶员的概率为＝，故X～B?3，?. 1005?5?

270?2?0?3?3

所以P(X＝0)＝C3????＝；

?5??5?125

2

P(X＝1)＝C1； 3????＝

?5??5?125

?2??3?5436

2

P(X＝2)＝C2； 3????＝

?5??5?125

?2??3??2??3?30

P(X＝3)＝C3. 3????＝

?5??5?125

8

所以X的分布列为

X P E(X)＝0×

0 27 1251 54 1252 36 1253 8 12526

X＝3×＝??.

55?

27543686?＋1×＋2×＋3×＝?或E1251251251255?

2．一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓1

出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．

2

(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列； (2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？

(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．

解：(1)X可能的取值为10,20,100，－200.根据题意，有