第十九讲平面几何中的几个著名定理

证 如图3－102，设AD和BE相交于P，作直线CP，交直线AB于F′，由塞瓦定理得

所以 F′B=FB，

即F′与F重合，所以AD，BE，CF相交于同一点．

塞瓦定理的逆定理常被用来证明三线共点．

例3 求证：三角形的三条中线、三条内角平分线和三条高所在的直线分别相交于同一点．

证 (1)如果D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB的中点，则

由塞瓦定理的逆定理得中线AD，BE，CF共点．

(2)如果D，E，F分别是△ABC的内角平分线AD，BE，CF与边BC，CA，AB的交点，则

由塞瓦定理的逆定理得角平分线AD，BE，CF共点．

(3)设D，E，F分别是△ABC的高AD，BE，CF的垂足．

(i)当△ABC是锐角三角形时(如图3－103)，D，E，F分别在BC，CA，AB上，有

BD=ccosB，DC=bcosC，CE=acosc， EA=ccosA，AF=bcosA，FB=acosB， 所以

由塞瓦定理的逆定理得高AD，BE，CF共点．

(ii)当△ABC是钝角三角形时，有

BD=ccosB，DC=bcosC，CE=acosC，

EA=ccos(180°-A)=-ccosA， AF=bcos(180°-A)=-bcosA,

FB=acosB，

所以

由塞瓦定理的逆定理，得高AD，BE，CF共点．

(iii)当△ABC是直角三角形时，高AD，BE，CF都经过直角顶点，所以它们共点．

例4 在三角形ABC的边上向外作正方形，A1，B1，C1是正方形的边BC，CA，AB的对边的中点，证明：直线AA1，BB1，CC1相交于一点．

证 如图3－104．设直线AA1，BB1，CC1与边BC，CA，AB的交点分别为A2，B2，C2，那么BA2：A2C等

于从点B和C到边AA1的垂线的长度之比，即

其中∠θ=∠CBA1=∠BCA1．同理

将上述三式相乘得

根据塞瓦定理的逆定理，得AA1，BB1，CC1共点．

3．斯台沃特定理

定理 △ABC的边BC上任取一点D，若BD=u，DC=v，AD=t，则

证 过A作AE⊥BC，E为垂足(如图3－105)，设DE=x，则有

AE2=b2-(v-x)2=c2-(u+x)2=t2-x2，

(若E在BC的延长线上，则v-x换成x-v．)于是得

消去x得

(u+v)2=b2u+c2v-uv(u+v)，

这就是中线长公式．

(2)当AD是△ABC的内角平分线时，由三角形的内角平分线的性质

设a+b+c=2p，得

这就是内角平分线长公式．

(3)当AD是△ABC的高时，

AD2=b2-u2=c2-v2．

再由u+v=a，解得

所以

若设AD=ha，则

这就是三角形的高线长公式．当D在BC的延长线上时，用-v代替v，同样可得高线长线公式．

这就是三角形的面积公式．