云南省玉溪第一中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学（理）试题（解析版）

分组 [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） 合计

频数 10 25 m 2 M 频率 0.25 n p 0.05 1

（1）求出表中M，p及图中a的值；

（2）若该校高一学生有360人，试估计该校高一学生参加社区服务的次数在区间[15，20）内的人数；

（3）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，请列举出所有基本事件，并求至多1人参加社区服务次数在区间[20，25）内的概率． 【答案】（1）0.125；（2）5；（3） 【解析】 【分析】 （1）由频率=

，能求出表中M、p及图中a的值．（2）由频数与频率的统计表和频率分布直方图能求出参加社

区服务的平均次数．（3）在样本中，处于[20，25）内的人数为3，可分别记为A，B，C，处于[25，30]内的人数为2，可分别记为a，b，由此利用列举法能求出至少1人参加社区服务次数在区间[20，25）内的概率． 【详解】（1）由分组[10，15）内的频数是10，频率是0.25知，因为频数之和为40，所以

因为a是对应分组[15，20）的频率与组距的商，所以

． ．

，所以M=40．

（2）因为该校高三学生有360人，分组[15，20）内的频率是0.625，

0.625=225人． 所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为360×（3）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有3+2=5人

设在区间[20，25）内的人为{a1，a2，a3}，在区间[25，30）内的人为{b1，b2}．

则任选2人共有（a1，a2），（a1，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）10种情况，（9分）

而两人都在[20，25）内共有（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3）3种情况， 至多一人参加社区服务次数在区间[20，25）内的概率为

．

【点睛】本题考查频率分布表和频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．

19.如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=AB=1，点E在棱AB上移动．

（1）证明： B1C⊥平面D1EA；

（2）若BE=，求二面角D1﹣EC﹣D的大小． 【答案】（1）见解析（2） 【解析】 【分析】 （1）根据

性质得

,再根据长方体性质得

,最后根据线面垂直判定定理证结论,（2）,最后根据解三角形得结果.

根据线面垂直可得

【详解】

【点睛】本题考查线面垂直判定定理与二面角求法，考查基本分析求解与论证能力，属中档题. 20.设数列{an}的前n项和Sn满足：Sn=nan﹣2n（n﹣1），首项=1． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设数列

的前n项和为Mn，求证：

Mn

．

【答案】（1）an=4n﹣3；（2）见解析 【解析】 【分析】

（1）根据和项与通项关系得an=an-1+4,再根据等差数列定义以及通项公式得结果,（2）先根据裂项相消法得Mn,再根据n范围以及单调性得结果. 【详解】解：（1）Sn=nan﹣2n（n﹣1），

当n≥2时，Sn-1=（n﹣1）an-1﹣2（n﹣1）（n﹣2），

相减可得an=nan﹣2n（n﹣1）﹣（n﹣1）an-1+2（n﹣1）（n﹣2）， 化为an=an-1+4，

则{an}为首项为1，公差为4的等差数列， 即有an=1+4（n﹣1）=4n﹣3； （2）证明：

，

前n项和为Mn由且则

Mn

在自然数集上递增，可得n=1时取得最小值， ，

【点睛】裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如

(其中

是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的

或

.

有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如21.已知圆C经过原点O（0，0）且与直线y=2x﹣8相切于点P（4，0）． （1）求圆C的方程；

（2）已知直线l经过点（4, 5），且与圆C相交于M，N两点，若|MN|=2，求出直线l的方程． 【答案】（1）【解析】 【分析】

（Ⅰ）由已知得圆心经过点P（4，0）、且与y=2x﹣8垂直的直线上，它又在线段OP的中垂线x=2上，求得圆心C（2，1），半径为，可得圆C的方程．(2)把圆的弦长转化为圆心到直线的距离，讨论k存在和不存在两种情况. 【详解】（1）由已知，得圆心在经过点P（4，0）且与y=2x﹣8垂直的直线线x=2上，

所以求得圆心C（2，1），半径为

．

上，它又在线段OP的中垂

；（2）

或

所以圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5． （2）①当直线l的斜率存在时， 设直线l的方程为

因为|MN|=2，圆C的半径为

,解得

，所以直线

，即

.

，所以圆心到直线的距离d=2

,

②当斜率不存在时，即直线l:x=4，符合题意 综上直线l为

或x=4