2018年湖南省湘潭市中考数学试卷（含答案解析版）

【考点】MR：圆的综合题．

【专题】15 ：综合题；55C：与圆有关的计算．

【分析】（1）①当∠AOM=60°时，所以△AMO是等边三角形，从而可知∠MOD=30°，∠D=30°，所以DM=OM=10；

②过点M作MF⊥OA于点F，设AF=x，OF=10﹣x，利用勾股定理即可求出x的值．易证明△AMF∽△ADO，从而可知AD的长度，进而可求出MD的长度． （2）根据点M的位置分类讨论，然后利用圆周角定理以及圆内接四边形的性质即可求出答案．

【解答】解：（1）①当∠AOM=60°时， ∵OM=OA，

∴△AMO是等边三角形， ∴∠A=∠MOA=60°， ∴∠MOD=30°，∠D=30°， ∴DM=OM=10

②过点M作MF⊥OA于点F， 设AF=x， ∴OF=10﹣x，

∵AM=12，OA=OM=10，

由勾股定理可知：122﹣x2=102﹣（10﹣x）2

∴x=，

∴AF=，

∵MF∥OD，

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∴△AMF∽△ADO，

∴ ， ∴ ，

∴AD=

∴MD=AD﹣AM=

之间时， （2）当点M位于

连接BC，

的中点， ∵C是

∴∠B=45°，

∵四边形AMCB是圆内接四边形， 此时∠CMD=∠B=45°，

之间时， 当点M位于

连接BC，

由圆周角定理可知：∠CMD=∠B=45° 综上所述，∠CMD=45°

【点评】本题考查圆的综合问题，涉及圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形性质，解方程等知识，综合程度较高，需要

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学生灵活运用所学知识．

2

26．（10分）（2018?湘潭）如图，点P为抛物线y=x上一动点．

2

（1）若抛物线y=x是由抛物线y=（x+2）2﹣1通过图象平移得到的，请写出

平移的过程；

（2）若直线l经过y轴上一点N，且平行于x轴，点N的坐标为（0，﹣1），过点P作PM⊥l于M．

①问题探究：如图一，在对称轴上是否存在一定点F，使得PM=PF恒成立？若存在，求出点F的坐标：若不存在，请说明理由．

②问题解决：如图二，若点Q的坐标为（1.5），求QP+PF的最小值．

【考点】HF：二次函数综合题．

【专题】31 ：数形结合；35 ：转化思想；535：二次函数图象及其性质． 【分析】（1）找到抛物线顶点坐标即可找到平移方式． （2）①设出点P坐标，利用PM=PF计算BF，求得F坐标；

②利用PM=PF，将QP+PF转化为QP+QM，利用垂线段最短解决问题．

【解答】解：（1）∵抛物线y=（x+2）2﹣1的顶点为（﹣2，﹣1）

∴抛物线y=（x+2）2﹣1的图象向上平移1个单位，再向右2个单位得到抛物

2

线y=x的图象．

（2）①存在一定点F，使得PM=PF恒成立． 如图一，过点P作PB⊥y轴于点B

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2

设点P坐标为（a，a）

2

∴PM=PF=a+1

∵PB=a ∴Rt△PBF中

BF=

∴OF=1

∴点F坐标为（0，1） ②由①，PM=PF

QP+PF的最小值为QP+QM的最小值

当Q、P、M三点共线时，QP+QM有最小值为点Q纵坐标5． ∴QP+PF的最小值为5．

【点评】本题以二次函数为背景，考查了数形结合思想、转换思想和学生解答问题的符号意思．

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