2019年高考数学空间立体几何专题- 第四讲平行

第四讲 直线、平面平行的判定与性质

【考点分析】

1、 掌握线线平行、线面平行、面面平行的判定及其应用等内容

2、 题型主要以解答题的形式出现，解题要求有较强的推理论证能力，广泛应用转化与化归的思想.

【基础扫描】

1．线面平行的判定定理和性质定理

文字语言 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则图形语言 符号语言 判定定理 该直线与此平面平行(简记为“线线平行?线面平行”) a∥βl∥a??a?α??l∥α l?α??一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一性质定理 平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行?线线平行”)

2.面面平行的判定定理和性质定理

l∥α ??l?β??l∥b α∩β＝b?? 文字语言 图形语言 符号语言 一个平面内的两条相交直线与另一判定定理 个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行?面面平行”) ?b∥β?a∩b＝P??α∥β a?α?b?α?性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 ??α∩γ＝a??a∥b β∩γ＝b??α∥β

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【知识运用】

题型一 线面平行的判定

方法一：三角形中位线 解题思路：找中点----构造三角形—找出中位线

【例1】如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是菱形，E是线段PC上的中点，证明： PA//平面

EBD

解析：（1）连接AC交BD于O，连接EO，

∵底面ABCD是菱形，∴O是AC中点，又∵E是PC的中点，

∴PA//EO，且PA?平面EBD， EO?平面EBD，∴PA//平面EBD. 【变式】

1．在直三棱柱中， D是AC的中点.求证： B1C//平面A1BD；

解析：连接AB1，交A1B于点O，连结OD，

∵在直三棱柱ABC?A1B1C1中， AA1?AB?BC?3，

O是AB1的中点， ∴ABB1A1是正方形，∴

∵D是AC的中点，∴OD是?ACB1的中位线，∴OD//B1C， ∵B1C不包含于平面A1BD， OD?平面A1BD，∴B1C//平面A1BD.

2、 (2018届昆明一中摸底)如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，，点M，N分别为A1C1，AB1的中点，证明：

MN∥平面BB1C1C

证明 连接A1B，BC1，点M，N分别为A1C1，AB1的中点，所以MN为△A1BC1的一条中位线，MN∥BC1， 又因为MN?平面BB1C1C，BC1?平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C.

2 方法二：构造平行四边形

解题思路：平移找辅助线构造平行四边形-----利用一组对边平行且相等----平行四边形的性质

【例2】 如图三棱柱ABC?A1B1C1中， D,D1分别是

BC和B1C1的中点，求证： A1D1//平面AB1D

【变式】

1． 在矩形????????中，????=2????,??,??分别为线段????、????的中点，求证：????∥平面??????；

试题解析：（1）因为??,??分别为线段????、????的中点， 所以????//????,????=????,所以四边形????????为平行四边形， 所以????//????,所以????∥平面??????.

3 2．如图四边形????????是平行四边形????????为直角梯形，????=2????=????=2????.求证：????//平面??????；

试题解析：(Ⅰ)取????的中点??，连接????,????.

∵四边形????????为直角梯形，????=2????,??是????的中点， ∴????=????，且????//????. ∵四边形????????是平行四边形， ∴????=????，且A??//????， ∴????=????，且????//????， ∴四边形????????是平行四边形， ∴????//????.

∵?????平面??????,?????平面??????， ∴????//平面??????.

方法三：线面平行的性质

解题思路：先证明线面平行----要证的线是两平面的交线

【例3】如图，在直角梯形中ABCD， ?ADC??BAD?90?，截面CDE交SB于点F,求证： EF//CD；

【试题解析】

证明：（1）?CD//AB ?CD//平面SAB 又?平面CDEF ?平面SAB?EF ?CD//EF 【变式】

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1．如图，在底面是菱形的四棱锥P?ABCD中,点E、F分别为BC、PD的中点，设直线PC与平面AEF交于点Q，平面PAB?平面PCD?l，求证： AB//l.

试题解析：（1）∵AB//CD, AB?平面PCD, CD?平面PCD. ∴AB//平面PCD,

∵AB?平面PAB,平面PAB?平面PCD?l∴AB//l.

题型二：面面平行

【例4】如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：

(1)B，C，H，G四点共面； (2)平面EFA1∥平面BCHG.

证明 (1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点， ∴GH是△A1B1C1的中位线， ∴GH∥B1C1.

又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC， ∴B，C，H，G四点共面． (2)∵E，F分别是AB，AC的中点， ∴EF∥BC.

∵EF?平面BCHG，BC?平面BCHG， ∴EF∥平面BCHG. ∵A1G綊EB，

∴四边形A1EBG是平行四边形，

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