数学模型在机械设计中的应用

数学模型在机械设计中的应用

1.绪论

一个国家的机械工业的技术水平和现代化程度决定着整个国民经济的水平和现代化程度，而随着生产的发展和科学技术的进步，机械设计的优劣对机械零件质量的好坏越来越起着决定性的作用，而且产品的迅速更新换代，也要求设计的过程大大缩短。因此，对机械设计实际问题进行优化，本质上是运用计算机快速高质量地完成传统设计的“评价一再设计”过程。貌似机械设计与数学建模毫无关联，但为了完成人机对话， 第一步也是自重要的一步就是必须将机械设计实际问题数学化，即抽象成为优化设计的数学模型；第二步是应用最优化计算方法的程序在计算机上求解这个数学模型。

?1?2.机械设计简介

机械设计是根据用户的使用要求对专用机械的工作原理、结构、运动方式、力和能量的传递方式、各个零件的材料和形状尺寸、润滑方法等进行构思、分析和计算并将其转化为具体的描述以作为制造依据的工作过程

?2?。

机械设计是机械工程的重要组成部分，是机械生产的第一步，是决定机械性能的最主要的因素。机械设计的努力目标是：在各种限定的条件（如材料、加工能力、理论知识和计算手段等）下设计出最好的机械，即做出优化设计。优化设计需要综合地考虑许多要求，一般有：最好工作性能、最低制造成本、最小尺寸和重量、使用中最可靠性、最低消耗和最少环境污染。这些要求常是互相矛盾的，而且它们之间的相对重要性因机械种类和用途的不同而异。设计者的任务是按具体情况权衡轻重，统筹兼顾，使设计的机械有最优的综合技术经济效果。随着机械工程基础理论和价值工程、系统分析等新学科的发展，制造和使用的技术经济数据资料的积累，以及计算机的推广应用，优化逐渐依靠科学计算。服务于不同产业的不同机械，应用不同的工作原理，要求不同的功能和特性。各产业机械的设计，特别是整体和整系统的机械设计，须依附于各有关的产业

?3?技术而难于形成独立的学科。因此出现了农业机械设计、矿山机械设计、纺织机械设计、汽车设计、船舶设计、泵设计、压缩机设计、汽轮机设计、内燃机设计、机床设计等专业性的机械设计分支学科。但是，这许多专业设计又有许多共性技术，例如机构分析和综合、力与能的分析和计算、工程材料学、材料强度学、传动、润滑、密封，以及标准化、可靠性、工艺性、优化等。

3.数学模型在机械设计中的应用实例 3.1基于数学模型的圆柱齿轮减速机的设计

3.1.1基于数学模型的圆柱齿轮减速器的设计的优势

目前通用圆柱齿轮减速机已有标准系列，但其成本与工作可靠性都不是最佳情况。现代机械普遍采用电动机驱动式，为满足工作机输入转速及转矩的要求，需要在电动机与工作机之间安装减速器，以得到合理的转速。因此，作为一种独立的闭式传动装置，减速器在现代机械领域得到广泛应用。对其进行优化设计，具有可观的经济效益。但是，此类优化模型具有高维、线性非凸、多约束及多峰值等特点，对此类问题，传统优化方法优化结果严重依赖于所选初始解，当初始解选择不当时，优化过程易陷入局部最优解；需要对变量进行微分操作运算，计算量大，求解效率低，而且无法求解多元约束下的优化问题；迭代运算时迭代次数很大，收敛速度慢，不能同时保证计算精度和计算效率，优化结果不理想。应用数学建模方法对其进行了设计，在不改变原来转动零件的材质、传动比、输入功率和转速等条件下，根据可靠度要求优选出一组最佳齿轮啮合参数，从而使标准系列的减速机的体积最小，成本最低，工作可靠度达到预定要求。该模型提出的减速机的概率设计方法为通用模式，只要输入设计要求的原始数据，就能较快地计算出减速机主要零件的最佳参数

?4?。对二级圆柱齿轮减速器进行多目标优化。建立以二级

圆柱齿轮减速器结构参数的多目标优化数学模型，采用复合形法对实例进行结构参数的优化计算，效果是显著的并且使用matlab软件，省去人工计算多带来的误差。 3.1.2 减速器数学模型设计研究

a． 接触承载能力

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一对变位齿轮传动的接触承载能力可用只与啮合参数有关的接触承载能力系数?表示，其函数形式为：

0.2a2ucos3?ttan?'t??Kv(u?1)2cos?

式中：a—啮合中心距；

'u—齿数比；

?—分度圆螺旋角；

?t—端面压力角；

?t'—端面啮合角；

Kv—动载系数；Kv?1?0.07vz1/100；v—齿轮圆周速度；z1—小齿轮齿数。

由上式可知，齿轮的接触承载能力系数?仅与u、?、?t有关，当啮合中心距?'和模数m已定时，端面啮合角?t的表达式为：

''cos?'t?式中：yt—中心距分离系数。 b．设计变量的确定

z1?z2cos?tz1?z2?2yt

将影响齿轮接触承载能力系数的独立参数列为设计变量，即：

x??x1;x2;x3;x4???u1;T?;yt1;Tyt2?

式中：u1—高速级的齿数比；

yt1、yt2分别为高速和低速级齿轮传动的中心距分离系数。

c．目标函数的确定

该问题要求提高高速级和低速级齿轮传动的承载能力，同时要求两级传动达到等强度，所以这是一个具有三个指标的多目标函数问题。可以将高速级和低速级齿轮传动的承载能力系数转化为第一、二个分目标函数f1(x)、f2(x)。用中间轴上两个齿轮所允许传递转矩差的相对值最小来建立等强度条件f3(x)，采用线性组合法将三个分目标函数

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综合成统一的目标函数。采用线性组合法将三个分目标函数综合成统一的目标函数围：

f(x)??1f1(x)??2f2(x)??3f3(x)

d．约束条件确定

保证轴的重合度和螺旋角不大于15°；高速机和低速级齿数比分配由润滑条件决定；限制低速级大齿轮直径，使其不超过原箱体，且满足中心距要求。

综上所述，二级齿轮减速器的设计可以变为一个有四个设计变量、八个不等式约束、三个分目标函数的多目标数学模型，应用matlab软件，对任意参数，只要输入进去，便可得出减速器设计时所要的最优解。

?5?3.2 基于遗传算法的恒力吊的优化设计数学模型

3.2.1 基于遗传算法的恒力吊优化设计的优势

热力发电设备中很多装置在高温下工作，例如热力发电厂的气管、水管、烟管、风管、燃烧器及空气预热器等。由于热胀冷缩的原因，在冷态和热态间，管道系统内悬吊点的热位移很大，可达几毫米、几十毫米到几百毫米。当热位移大于10毫米就要求采用恒力吊架结构，以避免管道系统产生危险的弯曲应力及不利的应力转移。恒力吊架是火力发电设备的重要辅件，且价格昂贵，但其性能直接影响到火力发电设备安全性、可靠性。传统优化方法优化结果严重依赖于所选初始解，当初始解选择不当时，优化过程易陷入局部最优解；需要对变量进行微分操作运算，计算量大，求解效率低，而且无法求解多元约束下的优化问题；迭代运算时迭代次数很大，收敛速度慢，不能同时保证计算精度和计算效率，优化结果不理想

?6?。遗传算法 （Genetic Algorithm）是一种启发

式的全局搜索和优化方法，通过比例复制、概率交叉和变异操作来实现个体的优化重组，最终达到全局最优解，是一种并行、高效及强鲁棒性的搜索算法3.2.2 建立恒力吊优化设计数学模型

采用遗传算法进行恒力吊优化设计，使恒力吊架的性能更好（恒定度数值越小，性能越高），价格更合理是追求的目标。为了满足恒力吊的使用要求，提高恒力吊的工作精度，使恒定度值最小，对恒力吊机构进行优化，建立数学模型如下：

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