关于圆锥曲线的讨论5

线是一个圆，我们称为主圆（director cycle）.当是抛物线时，这条曲线是抛物线的准线.最后一节对圆、抛物线、椭圆、双曲线的主圆用Scientific Work Place 3.0的Maple V软件作出图解. 1 引入

给定平面上一个圆锥曲线，怎样选点P(x1,y1)使得由此点作出的两条圆锥曲线的切线互相垂直？如果上述点P(x1,y1)按照上述条件在平面上移动，其轨迹是一条曲线.一般的，椭圆和双曲线情形轨迹是圆，抛物线例外.这条曲线通常称为圆锥曲线的主圆.第2节，收集其他节可能用到的预备知识详情.在第3节，抛物线情形时上述曲线被证明是一条直线，其实就是抛物线的准线，还得到了从一个固定点作抛物线的两条切线的组合方程.第4节中，得到椭圆的主圆的方程和一点做椭圆的两条切线的组合方程是一样的.第5节则是得到了双曲线主圆的方程以及从一给定点所作双曲线的两条切线的组合方程.第6节是利用Scientific Work Place 3.0上的Maple V软件作图解释这些主圆.Askwith[1]和Loney[2]d的书可作为本文的准备. 2 预备结果

抛物线的标准形式设为

y?4ax2 （2.1）

如果点P(x1,y1)是抛物线（2.1）上的一点，这点所作抛物线的切线方程是

yy1?2a(x?x1)

（2.2）

y?mx?am 抛物线（2.1）上任意切线方程可以写成形如 椭圆的标准形式为

xa22 （2.3）

?yb22?1 （2.4）

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如果点P(x1,y1)是椭圆（2.4）上的一点，这点所作椭圆的切线方程是

xx1a2?yy1b2?1 （2.5）

y?mx?am?b222椭圆（2.4）切线的一般形式是 双曲线的标准形式是

xa22 （2.6）

?yb22?1 （2.7）

如果点P(x1,y1)是双曲线（2.4）上的一点，这点所作双曲线的切线方程是

xx1a2?yy1b2?1 （2.8）

y?mx?am?b222双曲线（2.7）切线的一般形式是 3 抛物线的主圆

（2.9）

可以证明抛物线的主圆就是准线，也就是x??a.由一个给定点所作的两条抛物线的切线的组合方程我们也可以得到.这些严格的结果要在后面第6节画表给出.我们来证明一个由抛物线的主圆是其准线产生的更一般的结果.

定理2.1 使得所作抛物线的两条切线成固定角?的动点P的轨迹方程是

y?4axtan(?)22?(a?x)2 （3.1）

推论2.1 抛物线（2.1）的主圆是准线x??a. 证明 直线y?mx?我们必有

2am总是抛物线的切线，如果它过点T(h,k)，则 （3.2）

mh?mk?a?0

如果方程（3.2）的两根为m1和m2，则由（3.2）可得

m1?m2?m1m2?ahkh （3.3）

（3.4）

两根对应的两条抛物线的切线分别为

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