2011考研数学基础班概率论与数理统计讲义

①第一次打开；②第二次打开；③第三次打开。

（4）全概公式

设事件B1,B2,?,Bn满足

1°B1,B2,?,Bn两两互不相容，P(Bi)?0(i?1,2,?,n)， 2°则有

nA??Bii?1，

P(A)?P(B1)P(A|B1)?P(B2)P(A|B2)???P(Bn)P(A|Bn)。

此公式即为全概率公式。

例1．29：播种小麦时所用的种子中二等种子占2％，三等种子占1.5％，四等种子占1％，其他为一等种子。用一等、二等、三等、四等种子播种长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，试求种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率。

例1．30：甲盒内有红球4只，黑球2只，白球2只；乙盒内有红球5只，黑球3只；丙盒内有黑球2只，白球

2只。从这三只盒子的任意一只中任取出一只球，它是红球的概率是： A．0.5625 B．0.5 C．0.45 D．0.375 E． 0.225

例1．31：100个球，40个白球，60个红球，不放回先后取2次，第2次取出白球的概率？第20次取出白球的概率？

（5）贝叶斯公式

设事件B1，B2，?，Bn及A满足

1° B1，B2，?，Bn两两互不相容，P(Bi)>0，i?1，2，?，n， 2° 则

nA??Bii?1，P(A)?0，

P(Bi/A)?P(Bi)P(A/Bi)?P(B)P(A/B)jjj?1n，i=1，2，?n。

此公式即为贝叶斯公式。

（i?1，2，?，n），通常叫先验概率。P(Bi/A)，（i?1，2，?，n），通常称为后验概率。如果P(Bi)，

我们把A当作观察的“结果”，而B1，B2，?，Bn理解为“原因”，则贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。

例1．32：假定用甲胎蛋白法诊断肝癌。设C表示被检验者的确患有肝癌的事件，A表示诊断出被检验者患有肝癌的事件，已知P(A/C)?0.95，P(A/C)?0.98，P(C)?0.004。现有一人被检验法诊断为患有肝癌，求此人的确患有肝癌的概率P(C|A)。

5、事件的独立性和伯努利试验

（1）两个事件的独立性

设事件A、B满足P(AB)?P(A)P(B)，则称事件A、B是相互独立的（这个性质不是想当然成立的）。 若事件A、B相互独立，且P(A)?0，则有

P(B|A)?P(AB)P(A)P(B)??P(B)P(A)P(A)

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所以这与我们所理解的独立性是一致的。

若事件A、B相互独立，则可得到A与B、A与B、A与B也都相互独立。（证明） 由定义，我们可知必然事件?和不可能事件?与任何事件都相互独立。（证明） 同时，?与任何事件都互斥。

（2）多个事件的独立性

设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件， P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 那么A、B、C相互独立。 对于n个事件类似。 两两互斥→互相互斥。 两两独立→互相独立？

例1．33：已知P(B/A)?P(B/A)，证明事件A、B相互独立。

例1．34：A，B，C相互独立的充分条件： （1）A，B，C两两独立 （2）A与BC独立

例1．35：甲，乙两个射手彼此独立地射击同一目标各一次，甲射中的概率为0.9，乙射中的概率为0.8，求目标没有被射中的概率。

（3）伯努利试验

定义 我们作了n次试验，且满足

? 每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生； ? n次试验是重复进行的，即A发生的概率每次均一样； ? 每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与否是互不影响的。 这种试验称为伯努利概型，或称为n重伯努利试验。

用p表示每次试验A发生的概率，则A发生的概率为1?p?q，用Pn(k)表示n重伯努利试验中A出现

k(0?k?n)次的概率， Pn(k)?Cnpkqn?kk，k?0,1,2,?,n。

例1．36：袋中装有α个白球及β个黑球，从袋中任取a+b次球，每次放回，试求其中含a

个白球，b个黑球的概率（a?α，b?β）。

例1．37：做一系列独立试验，每次试验成功的概率为p，求在第n次成功之前恰失败m次的概率。

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第二节 练习题

1、事件的运算和概率的性质

例1．38：化简 (A+B)(A+B)(A+B)

例1．39：ABC=AB(C∪B) 成立的充分条件为： (1)AB?C (2)B?C

例1．40：已知P(A)=x，P(B)=2x，P(C)=3x，P(AB)=P(BC)，求x的最大值。 例1．41：当事件A与B同时发生时，事件C必发生，则下列结论正确的是

（A） P（C）=P（AB）。 （B） P（C）=P（A?B）。

（C） P（C）?P（A）+P（B）-1 （D） P（C）?P（A）+P（B）-1。

[ ]

2、古典概型

例1．42：3男生，3女生，从中挑出4个，问男女相等的概率？

例1．43：电话号码由四个数字组成，每个数字可以是0,1,2,?,9中的任一个数，求电话号码是由完全不同的数字组成的概率。

例1．44：袋中有6只红球、4只黑球，今从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得2分，取到一只黑球得1

分，则得分不大于6分的概率是 A．

23 42 B．

4 7 C．

25 42 D．

13 21例1．45：10个盒子，每个装着标号为“1－6”的卡片。每个盒子任取一张，问10张中最大数是4的概率？ 例1．46：将n个人等可能地分到N（n?N）间房间中去，试求下列事件的概率。 A＝“某指定的n间房中各有1人”； B＝“恰有n间房中各有1人”

C＝“某指定的房中恰有m（m?n）人”

例1．47：有5个白色珠子和4个黑色珠子，从中任取3个，问全是白色的概率？

3、条件概率和乘法公式

例1．48：假设事件A和B满足P（B | A）=1，则 （A） A是必然事件。

（C）A?B。

（B）A?B。 （D）P(AB)?0。

[ ]

例1．49：设A，B为两个互斥事件，且P（A）>0, P(B)>0，则结论正确的是

（A） P（B | A）>0。 （B） P（A | B）=P（A）。 （C） P（A | B）=0。

（D） P（AB）=P（A）P（B）。 [ ]

例1．50：某种动物由出生而活到20岁的概率为0.7，活到25岁的概率为0.56，求现龄为20岁的这种动物活到25岁的概率。

例1．51：某人忘记三位号码锁（每位均有0～9十个数码）的最后一个数码，因此在正确拨出前两个数码后，

只能随机地试拨最后一个数码，每拨一次算作一次试开，则他在第4次试开时才将锁打开的概率是

A．

1 4 B．

1 6 C．

2 5 D．

1 10例1．52：在空战训练中，甲机先向乙机开火，击落乙机的概率为0.2；若乙机未被击落，就进行还击，击落甲机的概率是0.3；若甲机未被击落，则再进攻乙机，击落乙机的概率是0.4，求在这几个回合中：①甲机被击落

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的概率；②乙机被击落的概率。

例1．53：为防止意外事故，在矿井内同时安装两种报警系统A与B，每种系统单独使用时，其有效率A为0.92，B为0.93，在A失灵条件下B有效概率为0.85。求：（1）这两种警报系统至少有一个有效的概率；（2）在B失灵条件下，A有效的概率。

4、全概和贝叶斯公式

例1．54：甲文具盒内有2支蓝色笔和3支黑色笔，乙文具盒内也有2支蓝色笔和3支黑色笔．现从甲文具盒中任取2支笔放入乙文具盒，然后再从乙文具盒中任取2支笔．求最后取出的2支笔都是黑色笔的概率。 例1．55：三个箱子中，第一箱装有4个黑球1个白球，每二箱装有3个黑球3个白球，第三箱装有3个黑球5个白球。现先任取一箱，再从该箱中任取一球，问：（1）取出的球是白球的概率？（2）若取出的为白球，则该球属于第二箱的概率？

例1．56：袋中有4个白球、6个红球，先从中任取出4个，然后再从剩下的6个球中任取一个，则它恰为白球的概率是 。

5、独立性和伯努利概型

例1．57：设P(A)>0,P(B)>0，证明

（1） 若A与B相互独立，则A与B不互斥； （2） 若A与B互斥，则A与B不独立。 例1．58：设两个随机事件A，B相互独立，已知仅有A发生的概率为

，P（B）=

。

11，仅有B发生的概率为，则P（A）= 44例1．59：若两事件A和B相互独立，且满足P(AB)=P(AB), P(A)=0.4，求P(B).

例1．60：设两两相互独立的三事件A，B和C满足条件；ABC=Ф，P（A）=P（B）=P（C）<

19，且已知P(A?B?C)?，216则P（A）= 。

例1．61：A发生的概率是0.6，B发生的概率是0.5，问A,B同时发生的概率的范围？

例1．62：设某类型的高炮每次击中飞机的概率为0.2，问至少需要多少门这样的高炮同时独立发射（每门射一次）才能使击中飞机的概率达到95%以上。

例1．63：由射手对飞机进行4次独立射击，每次射击命中的概率为0.3，一次命中时飞机被击落的概率为 0.6，至少两次命中时飞机必然被击落，求飞机被击落的概率。

例1．64：将一骰子掷m+n次，已知至少有一次出6点，求首次出6点在第n次抛掷时出现的概率。

例1．65：两只一模一样的铁罐里都装有大量的红球和黑球，其中一罐（取名“甲罐”）内的红球数与黑球数之比为2：1，另一罐（取名“乙罐”）内的黑球数与红球数之比为2：1 。今任取一罐并从中取出50只球，查得其中有30只红球和20只黑球，则该罐为“甲罐”的概率是该罐为“乙罐”的概率的 (A) 154倍 (B)254倍 (C)798倍 (D)1024倍

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