点集拓扑试卷一二

一、.判断题（10分）

1．集合X的一个拓扑不只一个基，一个基也可以生成若干个拓扑。（ ） 2．每一个度量空间都满足第一可数性公理。（ ） 3．拓扑空间中的连通分支是既开又闭的子集。（ ） 4．从拓扑空间?X,T1? 到?X,T2?的恒同映射必是连续映射。（ ）

5．设Ti是拓扑空间Xi的拓扑?i?1,2?,则T1?T2是积空间X1?X2的拓扑。（ ） 二、填空题（30分）

1．设A为是离散空间X的子集，则A? 。 2．对于拓扑空间?X,T?一个子空间?Y,T1?，T与T1满足 。

3．设A为是拓扑空间X的子集，则x?d?A?? 。 4．任何一族连通空间的积空间是 空间。

5．称拓扑空间X是可分空间，若 。 6．设X?X1?X2??Xn是n?1个拓扑空间X1,X2,,Xn的积空间，T是X的积拓

扑，Ti是空间Xi的拓扑?i?1,2,则积拓扑的一个子基S? 。 ,n?，

7．称拓扑空间X是Lindel?ff空间，若 。 8．设R是实数空间，Q是有理数集，则d?Q?? ,Q? 。

n三、设集合X有拓扑T1,T2,,Tn，则

i?1（10分） Ti是X的一个拓扑。

四、设X,Y为拓扑空间，映射f:X?Y在X上连续的充要条件是Y有一个基B满足（10 分） ?B?B,f?1?B?是X中开集。

五、证明：离散度量空间的每个子集是开集。（10分）

六、证明：每一个满足第二可数性公理的空间都满足第一可数性公理。（10分） 七、证明：若Y是拓扑空间X的连通子集，则Y也是X的连通子集。（10 分） 八、证明：满足第二可数公理的空间必定为可分空间。（10分）

一.判断题（10分）

1．离散度量空间的每个子集是开集.（ ）

2．正规空间是正则的，但正规空间可以不是T0的.（ ） 3．第一可数性和第二可数性都是拓扑不变性.（ ） 4．从紧致空间到T2空间的任何连续映射是同胚映射.（ ）

5．设Ti是拓扑空间Xi的拓扑?i?1,2?,则T1?T2是积空间X1?X2的拓扑。（ ） 二填空（30分）

1．设A为是拓扑空间X的子集，则A的闭包是包含A的 闭集，A的内部是包含于A的 开集. 2．设Y是拓扑空间X一个子空间，则子空间Y的闭集族= 。 F是空间X的闭集族，

3．设集合X的子集族B是X的某一个拓扑的基，则B必须满足条件： （1） ， （2） 。

4．请写出两种具有遗传性的分离性质: ; 。 5．任何一族连通空间的积空间是 空间. 6．设X?X1?X2??Xn是n?1个拓扑空间X1,X2,,Xn的积空间，T是X的积拓

扑，Ti是空间Xi的拓扑?i?1,2,则积拓扑的一个子基S? 。 ,n?，

7．请补充下面几种紧致性的关系： +T1?可数紧致；

可数紧致+A1? ；

可数紧致+ Lindel?ff? 。 8．请写出紧致性等价提法中的基的提法：即 。 三、证明：（1）每一个度量空间都满足第一可数公理.

（2）包含着不可数多个点的可数补空间不满足第一可数公理.（10分） 四、证明：连续映射保持可分性.（10分）

五、设X??a,b,c?,T=?,?a?,?b,c?,?a,b,c?.验证?X,T正规但非T0的.（10分）

六、证明拓扑空间X中任意个闭紧致子集之交，仍为紧致子集.（10分）

七、设拓扑空间X是Hausdorff空间，A,B是X中无交的紧致子集，则A,B分别有开领域

?? 并且是正则、?是拓扑空间，

U,V，使得UV??.（10分）

八、（1）请叙述Tietze扩张定理的内容.（5分） （2）证明完全正则空间是正则的.（10分）