期权与公司理财 结课论文

?f的股票。该证券组合并不是永远无?S?f风险的，只是在无限短的时间间隔内是无风险。随着S和t的变化，?会随之

?S合的持有人卖出一份期权，买入数量为?变化，因此为了保持证券组合的无风险状态必须连续调整证券组合中期权和股票

M??f??fS?S????（1.8），?t时间后，

的比例。定义该证券组合的为M，则

该证券组合的价值变化?M为：

?M???f??f?S?S，由（1.6）和（1.7）可得：

?f1?2f22?M?(???S)?t?t2?S2 ????（1.9）。很明显，观察（1.9）式中没有出

现随机项?X，所以在经过?t的时间后风险被消除，该组合可以获得确定的收益。因此在无套利机会的条件下，该组合的瞬时收益率一定与其他短期无风险证券的收益率相同，即：?M?rM?t，将（1.8）和（1.9）代入可以得到：

?f1?2f22?f(???S)?t?r(?f?S)?t2?t2?S?S，化简得到Black-Scholes微分方程：

?f?f1?2f22?rS??S?rf?t?S2?S2????（1.10）。

V、Black-Scholes微分方程的解的探讨：

Black-Scholes偏微分方程建立之后我们首先需要研究的是它到底有没有解，在什么样的情况下会有解等。对于dS??Sdt??SdX，我们将这一形式简单变形为：dYt??(t,Yt)dt??(t,Yt)dXt????（1.11），Xt是一维的Winner过

程，这是普遍意义上的随即微分方程，我们将其积分则可以得到随机微分方程的积分形式：

Yt?y???(s,Yt)ds???(s,Ys)dXs????（1.12）。随机微分方

00tt程的解是随机过程，其有两种类型。第一类解与常微分方程的解的情形类似，即给定漂移系数、波动系数和随即微分项dXt，我们确定一个随机过程

{Yt}，它

的路径满足随即积分方程（1.12），{Yt}依赖于时间t和Winner运动过程过去和现在的值，这种类型的解称之为强解。第二种类型的解即是弱解。对于弱解我们

?}{Y?}?f(t,X?)??{Yttt，此处的Xt是Winner过程，而且与{Yt}同确定一个过程：

时确定。对于弱解问题，只需分别给定漂移系数和波动系数。对于强解，其有存在唯一性定理，此处对定理内容和证明不作展开，但要说明的是这个强解依赖于初始时刻和初始值。

给定不同的初始状态则微分方程有很多解，其中只有部分解适用于期权定价，而且对于不同种类的期权还有不同的边界条件，这些边界条件确定了在S和t的可能取值的边界期权的价值。另外在推导的起始假设中有股票的预期收益率?，而?依赖于投资者的风险偏好，即?与投资者的风险厌恶程度成正相关，但是在微分方程演化中?恰好被约掉了。因此风险偏好将不会对微分方程的解产生影响，于是为了简单起见，我们可以假设所有的投资者都是风险中性的。

首先看欧式看涨期权的边界条件：

边界条件为：当t?T时，f?max{S?X,0}（此处的X是期权合约的执行价格，为了避免与随机过程X(t) 混淆，接下来本文中将用B(t)代替X(t)）。

在风险中性的世界中，欧式看涨期权到期日的期望价值是：

?[max{S?X(t),0}]E，因此价格c是这个期望值以无风险利率贴现的结果：

?[max{S?X(t),0}]c?e?r(T?t)*E，因为lnST服从正态分布，所以有

c?e?r(T?t)*(ST?X)*???lnX??1e2?(T?t)[lnST?lnS?(???222?2(T?t))(T?t)]2d(lnST)?r(T?t)c?S?(d)?Xe?0(d2)????（1.13）01化简可得：，

lnS?lnX?r?(?22)T?(t)其中

d1??T?t?22)(T?t)，

lnS?lnX?(r?d2??T?t?d1??T?t；?0(x)表示标准正态分布的

分布函数。

其次看欧式看跌期权，其边界为：当t?T时，f?max{X?S,0}，此时我

们根据的是欧式看涨期权和欧式看跌期权的平价关系，得到：

p?c?X*e?r(T?t)?S?X*e?r(T?t)?0(?d2)?S?0(?d1)。

（注：?0(d1)??0(?d1)?1，?0(d2)??0(?d2)?1）

接着我们知道美式看涨期权应当与欧式看涨期权一样都在到期日执行，即有C=c，所以（1.13）式也给出了美式看涨期权的定价公式：

C?S?0(d1)?Xe?r(T?t)?0(d2)。

最后，对于美式看跌期权，由于其有可能提前执行期权，所有根据这一方法没有得出精确的定价公式。

（五）、二叉树模型：

由于Black-Scholes定价公式无法对美式看跌期权进行精确定价，所以下文介绍另一种期权定价模型来对美式看跌期权进行定价。

此处我仍先讨论不支付红利的期权定价模型为例。

在讨论股票价格连续时间模型的离散形式时，可以采用二叉树模型。假设股票初始价格为S，经历了时间?t后，股票有上升和下降两种可能，设其上升到Su的概率为p，下降到Sd的概率为1?p，用二叉树表示如下：

S

（1）价格运动二叉树

p

Su?uS

1?p Sd?dS下面我们构造经历了四个时间段的股票价格变化的二叉树，为了减少树的节

d?1u，于是在两个时间段之后产生三种不同的价格，三个时间段

点，此处假设

就有四种不同价格，四个时间段后有五种不同价格??

图：1-1

S

Su

S Sd Su

2SuSu 3 Su4

Su2

S Sd 2Sd Sd

3Sd2 Sd4

为了使得股价的变化符合ITO随机过程，u，d，p必须满足一定的条件。假

r?t设无风险利率是r，则在?t段末的股价期望值应是Se，即

Ser?t?pSu?(1?pSd)，方差应为

S2?2?t?pS2u2?(1?p)S2d2?S2[pu?(1?p)d]2。联合两式子，加上所以有

d?1u，

u?e??t，p?a?du?d，a?er?t。在任意一个时刻i?t，股票价格有i?1中可

jji?jji?jCp(1?p)(j?0,1,2??i)Sudi能：，，且每一种价格的概率为：。

其次，在我们用二叉树表示了股票价格的随机过程后，采用倒推法就可以对以股票为标的资产的期权进行定价。

对于欧式看涨期权而言，在到期日期权价值为max(X?ST,0)，根据二叉树上T时刻的各个节点对应的股票价格，可以计算出相应的期权价格；又由于假设在风险中性的世界里，T??t时刻各节点的期权价格可以从T时刻期权价值的期望值用无风险利率贴现得到，以此类推，最终可以计算出二叉树的根节点，即当前时刻的期权价格。类似的，用同样的方法可以计算出欧式看跌期权的价格。

对于美式期权，计算过程则相对复杂一点，因为在每一个节点上都要考虑是否应当提前执行期权。假设把一个美式看跌期权的有效期分为N个长度为?t的小时间段，设

fij为i?t时刻的期权价格，由于美式看跌期权在到期日的价格为

max(X?ST,0)，所以

fNj?max[X?SujdN?j,0]，(j?0,1,??N)