2014年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及答案解析

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2014年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题

一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项

符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．（1）若liman?a，且a?0，则当n充分大时有（ ）

n??（A）an?【答案】A

a2 （B）an?a2 （C）an?a?11 （D）an?a? nn【考点】极限的概念 【详解】 【解法一】

liman?a????0，当n充分大时，有an-a??

n??取??a2，有an-a?a2即a?a2?an?a?a2

当a?0时，故选A.【解法二】

aa3a3aa?an??an?.从而an?. ；当a?0时，22222根据极限的保号性推论：若liman?a?0,则存在N?0，当n?N时，

n??

取??an??a,0???1

1，故选A. 2【解法三】

1?a???n?1令an???a?1?n?1?n为奇数，则排除B,C,D，故选A.

n为偶数（2）下列曲线中有渐近线的是（ ）

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（A）y?x?sinx （B）y?x2?sinx （C）y?x?sin【答案】C

【考点】函数的渐近线 【详解】

对于选项A， lim(x?sinx) 不存在，因此没有水平渐近线，

x??112 （D）y?x?sin xx同理可知，选项A没有铅直渐近线， 而limx??yx?sinx?lim不存在，因此选项A中的函数没有斜渐近线； xx??x对于选项B和D，我们同理可知，对应的函数没有渐近线；

对于C选项，y?x?sin1y.由于lim?limx??xx??xx?sinx1x?1，又

lim?y?1?x??limsinx??x??11?0.所以y?x?sin存在斜渐近线y?x.故选C.

xx233（3）设P(x)?a?bx?cx?dx，当x?0时，若P(x)?tanx是比x高阶的无穷小，则下列选项错误的是（ ）

（A）a?0 （B）b?1 （C）c?0 （D）d?【答案】D

【考点】高阶无穷小、泰勒公式、洛必达法则 【详解】 【解法一】

1 613x?o(x3)知，若P(x)?tanx是比x3高阶的无穷小 31则必有：a?0,b?1,c?0,d?，故选D.

3由泰勒展开式：tanx?x?【解法二】

a?bx?cx2?dx3?tanx?0 由题意可知lim3x?0x?lim(a?bx?cx2?dx3?tanx)?0?a?0

x?0新东方在线考研 [http://kaoyan.koolearn.com ]网络课堂电子教材系列

a?bx?cx2?dx3?tanxb?2cx?3dx2?sec2xlim?lim?0 x?0x?0x33x2?lim(b?2cx?3dx2?sec2x)?0?b?1

x?01?2cx?3dx2?sec2x2cx?3dx2?tan2x2cx3dx2?tan2xlim?lim?lim2?lim x?0x?0x?03xx?03x23x23x2?lim2cx11?(d?)?0?c?0,d?

x?03x233（4）设函数f(x)具有2阶导数，g(x)?f(0)(1?x)?f(1)x，则在区间[0,1]内（ ） （A）当f?(x)?0时，f(x)?g(x) （B）当f?(x)?0时，f(x)?g(x) （C）当f??(x)?0时，f(x)?g(x) （D）当f??(x)?0时，f(x)?g(x) 【答案】D

【考点】函数单调性的判别、函数图形的凹凸性 【详解】 【解法一】

令F(x)?g(x)?f(x)

则F?(x)??f(0)?f(1)?f?(x)

由拉格朗日中值定理知，存在??(0,1)，使得f(1)?f(0)?(1?0)f?(?)?f?(?) 即F?(?)?0

又因为F??(x)??f??(x)

若f??(x)?0，则F??(x)?0，所以F?(x)单调递减， 当x?(0,?),F?(x)?0,F(x)单调递增， 当x?(?,1),F?(x)?0,F(x)单调递减，

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又F(0)?0.F(1)?0，所以F(x)?0，即f(x)?g(x)，故选D 【解法二】

令f(x)?x2，则函数f(x)具有2阶导数，且f??(x)?0 所以g(x)?f(0)(1?x)?f(1)x?x 当x?[0,1]时，f(x)?g(x)，故选D

0ab0（5）行列式

a00b0cd0?（ ） c00d（A）(ad?bc)2 （B）?(ad?bc)2 （C）a2d2?b2c2 （D）b2c2?a2d2 【答案】B

【考点】行列式的性质、行列式按行（列）展开定理 【详解】 【解法一】

0ab0ba00baa00b00abdc0cd0c1?c3?dc00r2?r300c00d00cd00?badc?abcd?(bc?ad)(ad?bc)??(ad?bc)2 故选B 【解法二】

0ab0a00bab0a0cd0?a?(?1)2?1cd0?c?(?1)4?10c00d00dc0000ab cdb00b d0