2020-2021年新课标高考文科数学二轮中档大题46分规范讲练真题一(6页)

2020-2021年新课标高考文科数学二轮中档大题46分规范讲练真题一

17．(12分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ccosB＝(3a－b)cosC.

(1)求sinC的值；

(2)若c＝26，b－a＝2，求△ABC的面积． 解：(1)解法1：因为ccosB＝(3a－b)cosC， 所以由正弦定理得sinCcosB＝(3sinA－sinB)cosC， 即sinCcosB＋sinBcosC＝3sinAcosC， 所以sin(B＋C)＝3sinAcosC，

由于A＋B＋C＝π，所以sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sinA， 则sinA＝3sinAcosC.

1

因为0

因为0

解法2：因为ccosB＝(3a－b)cosC，所以由余弦定理得 a2＋c2－b2a2＋b2－c2c×2ac＝(3a－b)×2ab， 2

化简得a＋b－c＝3ab，

2

2

2

2ab

a2＋b2－c231

所以cosC＝2ab＝2ab＝3.

22

因为0

2

(2)解法1：由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC， 12

及c＝26，cosC＝3，得a2＋b2－3ab＝24， 4

即(a－b)＋3ab＝24.因为b－a＝2，所以ab＝15.

2

1122

所以△ABC的面积S＝2absinC＝2×15×3＝52. 解法2：由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，

12

及c＝26，cosC＝3，得a2＋b2－3ab＝24. 又b－a＝2，所以a＝3，b＝5.

1122所以△ABC的面积S＝2absinC＝2×15×3＝52.

18．(12分)清华大学中学生标准学术能力诊断性测试分线上测试和线下测试两种方式进行，某学校从该校参加某次线下测试的学生中随机抽取了100名学生的成绩(单位：分)，这100名学生的成绩均不低于560，不高于660，按成绩分组，得统计表如下：

组号 分组 频数 频率 示)；

1 [560,580) 0.10 2 [580,600) ① 3 [600,620) 0.25 4 [620,640) 20 ② 5 [640,660] 0.05 (1)请先求出统计表中①，②位置的数据，再完成频率分布直方图(用阴影表 (2)为了让学生更出色，学校招生办决定从第4,5组中用分层抽样的方法抽取5名学生进行自主招生模拟面试，并从这5名学生中随机抽取2名学生接受考官M的面试，求第4组中恰好有1名学生接受考官M面试的概率．

解：(1)第1组的频数为100×0.10＝10，第3组的频数为100×0.25＝25，第5组的频数为100×0.05＝5，所以100－(10＋25＋20＋5)＝40.因此①处填40.

20

因为100＝0.20，所以②处填0.20. 频率分布直方图如图所示．

(2)因为第4,5组共有25名学生，所以利用分层抽样的方法在这25名学生中5

抽取5名学生进行自主招生模拟面试，则第4组抽取学生25×20＝4(名)，第55

组抽取学生25×5＝1(名)．

记第4组的4名学生分别为a，b，c，d，第5组的1名学生为e，则从这5名学生中随机抽取2名学生的可能情况有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，共10种，其中第4组中恰好有1名学生接受考官M面试的情况有(a，e)，(b，e)，(c，e)，(d，e)，共4种．

42

所以第4组中恰好有1名学生接受考官M面试的概率为10＝5.

19．(12分)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．

(1)证明：PB∥平面AEC；

3

(2)设AP＝1，AD＝3，三棱锥P-ABD的体积V＝4，求点A到平面PBC的距离．

解：(1)证明：设BD交AC于点O，连接EO. 因为四边形ABCD为矩形，所以O为BD的中点． 又E为PD的中点，所以EO∥PB，

又EO?平面AEC，PB?平面AEC，所以PB∥平面AEC.

1333

(2)解法1：V＝6PA·AB·AD＝6AB，由V＝4，可得AB＝2.作AH⊥PB交

PB于H.

PA·AB

由题设易知BC⊥平面PAB，所以BC⊥AH，故AH⊥平面PBC，又AH＝PB313313＝13，所以点A到平面PBC的距离为13.

1333

解法2：V＝6PA·AB·AD＝6AB，由V＝4，可得AB＝2.由题设易知BC⊥平面PAB，得BC⊥PB，

设点A到平面PBC的距离为d， 13

因为PB＝PA2＋AB2＝2，

111339所以V三棱锥A-PBC＝3×2×3×2×d＝12d. 1133又V三棱锥P-ABC＝3×2×2×3×1＝4， 313V三棱锥A-PBC＝V三棱锥P-ABC，所以d＝13.

选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)

??x＝cost，

在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为? 2

??y＝sint

(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线1

C2的极坐标方程为ρ(sinθ－acosθ)＝2(a∈R)．

(1)写出曲线C1的普通方程和直线C2的直角坐标方程； (2)若直线C2与曲线C1有两个不同的交点，求a的取值范围． 解：(1)曲线C1的普通方程为y＝1－x2(－1≤x≤1)， 1

把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入ρ(sinθ－acosθ)＝2，得 11

直线C2的直角坐标方程为y－ax＝2，即ax－y＋2＝0.

11

(2)解法1：由直线C2：ax－y＋2＝0，知直线C2恒过点M(0，2)．