北京顺义区2012届初三第一次统一练习数学试卷

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．已知关于x的方程(k?1)x2?2kx?k?3?0．

（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；

（2）当方程有两个相等的实数根时，求关于y的方程y2?(a?4k)y?a?1?0的整数根

（a为正整数）．

2

24．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx+2mx+n经过点

A（-4，0）和点B（0，3）． （1）求抛物线的解析式；

（2）向右平移上述抛物线，若平移后的抛物线仍经过点B，求

平移后抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，记平移后点A的对应点为A’，点B的

对应点为B’，试问：在平移后的抛物线上是否存在一点P，

使△OA'P的面积与四边形AA’B’B的面积相等，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

25．问题：如图1， 在Rt△ABC中，?C?90?，

?ABC?30?，点D是射线CB上任意一点，△ADE

是等边三角形，且点D在?ACB的内部，连接BE．探究线段BE与DE之间的数量关系． 请你完成下列探究过程：

先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明.

（1） 当点D与点C重合时（如图2），请你补全图形．由?BAC的度数为 ，点

E落在 ，容易得出BE与DE之间的数量关系为 ； （2） 当点D在如图3的位置时，请你画出图形，研究线段BE与DE之间的数量关系

是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明．

EACDB图1AAC(D)图2

BCB图3D

2．顺义区2012届初三第一次统一练习

数学学科参考答案及评分细则

一、选择题（本题共32分，每小题4分）

题 号 答 案 1 A 2 B 3 D 4 C 5 D 6 B 7 C 8 C 二、填空题（本题共16分，每小题4分，） 9．4； 10．5x(x?y)2； 11．11.4； 12．三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．解：27?2cos30??(3)???3?

0?133 (43?2)?， ?，

23?13 n?．

?33?2??1??1???? ……………………………………………… 4分 2?3?13?1?

33 ?33?43 ?23? …………………………………………………………………… 5分

①②?x?y?214．解： ??2x?y?1

①+②，得 3x?3．

x?1． …………………………………………………… 2分 把x?1代入①，得 1?y?2．

y?1． ………………………………………………………… 4分

?x?1, ∴原方程组的解为 ? ………………………………………………… 5分

y?1.?15．证明：∵AB=AC，

∴?B??C． …………………………………………………………… 1分

在△ABD和△ACE中，

?AB?AC,???B??C, ?BD?CE,?∴ △ABD≌△ACE．……………………………………………………… 3分 ∴ AD=AE． ……………………………………………………………… 4分

∴∠ADE =∠AED． ……………………………………………………… 5分

16．解：?x??2?6x?9??3??1???? x??x? ?x?6x?9x(x?3)x2?x?3 …………………………………………………… 2分 x ??xx?3

?x?3 ……………………………………………………………………… 4分

当x?2012时，原式=2012?3?2009．…………………………………… 5分

17．解：（1）∵点A(4,m)在反比例函数y? ∴m?444x（x?0）的图象上，

?1． …………………………………………………………… 1分

∴A(4,1)．

将A(4,1)代入一次函数y??x?b中，得 b?5．

∴一次函数的解析式为y??x?5． …………………………………… 2分

（2）由题意，得 B(0,5)， ∴OB?5．

设P点的横坐标为xP．

∵△OBP的面积为5，

∴?5?xp?5．…………………………………………………………… 3分

21 ∴xP??2．

∴点P的坐标为（2，3）或（-2，7）． ………………………………… 5分 18．解：设A户型的每户窗户改造费用为x元，

则B户型的每户窗户改造费用为(x?500)元． ……………………………… 1分 根据题意，列方程得 解得 x?4500．

经检验，x?4500是原方程的解，且符合题意．…………………………… 4分 ∴x?500?4000．

答：A户型的每户窗户改造费用为4500元，

B户型的每户窗户改造费用为4000 元．…………………………………… 5分

540000480000?． xx?5四、解答题（本题共20分，每小题5分）

19．解：（1）∵在□ABCD中，∠B=60°，AB=4，∠ACB=45°，

∴∠D=60°，CD=AB=4，AD∥BC． ……………………………… 1分 ∴∠DAC=45°． 过点C作CM⊥AD于M， 在Rt△CDM中，

CM?CD?sinD?4?sin60??23，

AFEMDBDM?CD?cosD?4?cos60??2．………………………………… 2分

C在Rt△ACM中，∵∠MAC=45°， ∴AM?CM?23．

∴AD?AM?DM?23?2．…………………………………… 3分 ∵EF⊥AD，CM⊥AD，

∴EF∥CM． ∴EF?12CM?3．

在Rt△AEF中，AF?EF?∴DF?AD?AF?23?2?20．（1）证明：连结OD．

3．…………………………………… 4分 3?3?2．……………………… 5分

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°． ……………………………………………………… 1分 ∵∠A=30°， ∴∠ABD=60°． ∴∠BDC =

12?ABD?30?．

AOEDFBC∵OD=OB，

∴△ODB是等边三角形． ∴∠ODB=60°．

∴∠ODC=∠ODB+∠BDC =90°． 即OD⊥DC．

∴CD是⊙O的切线．…………………………………………………… 2分

（2）解：∵OF∥AD，∠ADB=90°，

∴OF⊥BD，∠BOE=∠A =30°． ……………………………………… 3分 ∴DE?BE?12BD?1．

在Rt△OEB中，OB=2BE=2，OE?OB?BE2322?3．………… 4分

∵OD=OB=2，∠C=∠ABD-∠BDC=30°，∠DOF=30°， ∴CD?23，DF?OD?tan30??∴CF?CD?DF?23?233?433．

3． ……………………………5分