大学物理第二版习题答案 - 罗益民 - 北邮出版社 - 第八章答案

第8章 机械振动

8-1 解：取固定坐标xOy，坐标原点O在水面上（图题所示）

设货轮静止不动时，货轮上的A点恰在水面上，则浮力为Sρga.这时 Mg?s?ga 往下沉一点时，

合力 F?Mg?s?g(a?y) ??s?gy.

dy2又 F?Ma?M 2dtdy2故M2?s?gy?0

dt习题8-1图

dy2s?g?y?0 2Mdt故作简谐振动

?2?s?gM

2?M2?104?103 T??2??2??6.35(s) 33?s?g2?10?10?9.8

8-2 解：取物体A为研究对象，建立坐标Ox轴沿斜面向下，原点取在平衡位置处，即在初始位置斜下方距离l0处，此时：

l0?mgsin??0.1(m) (1) k(1) A物体共受三力；重mg, 支持力N, 张力T.不计滑轮质量时，有 T=kx

列出A在任一位置x处的牛顿方程式

d2xmgsin??T?mgsin??k(l0?x)?m2

dt将（1）式代入上式，整理后得

d2xk?x?0 2mdt故物体A的运动是简谐振动，且??k?7(rad/s) m由初始条件??x0??l0?A?l0?0.1m,求得?,故物体A的运动方程为

?v?0????x=0.1cos(7t+π)m

(2) 当考虑滑轮质量时，两段绳子中张力数值不等，如图所示，分别为T1、T2,则对A列出任一位置x处的牛顿方程式为:

d2xmgsin??T1?m2 (2)

dt对

滑

轮

列

出

转

动

方

2程为：

习题8-2图

dx?1?a1T1r?T2r?J???Mr2??Mr2 (3)

dt?2?r2式中,T2=k(l0+x) （4）

1d2x由式（3）、(4)知T1?k(l0?x)?M代入(2)式知

2dt2?1?dxmgsin??k(l0?x)??M?m?2

?2?dt又由（1）式知mgsin??kl0

21d2x故(M?m)2?kx?0

2dtd2xkx?0 即2?Mdt(?m)2

?2?kM?m2

可见，物体A仍作简谐振动，此时圆频率为：??kM?m2?5.7(rad/s)

由于初始条件：x0??l0,v0?0

可知，A、?不变，故物体A的运动方程为:

x?0.1cos(5.7t??)m

由以上可知：弹簧在斜面上的运动，仍为简谐振动，但平衡位置发生了变化，滑轮的质量改变了系统的振动频率.

8-3 解：简谐振动的振动表达式：x?Acos(?t??)

由题图可知，A?4?10m,当t=0时，将x?2?10m代入简谐振动表达式，得：

?2?2cos??1 2由????Asin(?t??),当t=0时，????Asin? 由图可知，?>0,即sin??0,故由cos???21?,取??? 23习题8-3图

又因:t=1s 时，x?2?10m,将其入代简谐振动表达式，得

???2?4cos????,3??

由t=1s时,????Asin?????1?cos?????

3?2???????????<0知，sin?????0,取???，

333?3??2?s 3即 ??质点作简谐振动的振动表达式为

???2x?4?10?2cos??t??m

3??38-4 解：以该球的球心为原点，假设微粒在某一任意时刻位于遂道中的位矢为r，由高斯

??定理可知E???Qq?Qr,则微粒在此处受电场力为:F??r 334??0R4??0R??式中，负号表明电场F的方向与r的正方向相反，指向球心.由上式及牛顿定律，得：

F?mQqr?034??0R22drQqdrQq?r?0??r?02323dt4??0Rdt4??0mR2

令 ??Qq 34??0Rmd2r2??r?0 则 2dt故微粒作简谐振动，平衡点在球心处.由T?2??

4??0mR3知: T?2?

Qq8-5 解：（1）取弹簧原长所在位置为O?点.当弹簧挂上物体A时，处于静止位置P点，有：

Mg?kO?P

将A与B粘合后，挂在弹簧下端，静止平衡所在位置O点，取O点为原坐标原点如图题8-5所示，则有：kO?O?(M?m)g

设当B与A粘在一起后，在其运动过程的任一位置，弹簧形变量OO??x,则A、B系统所受合力为：

F?(M?m)g?k(O?O?x)??kx

d2x即 (M?m)2?kx?0

dt可见A与B作简谐和振动. (2) 由上式知，??k?10(rad/s)

M?m习题8.5图

以B与A相碰点为计时起点，此时A与B在P点，由图题8-5可知

OP?O?O?O?P?则t=0时，x0??OP??M?mMgmgg?? kkkmg??0.02m(负号表P点在O点上方) k2???01?2gh?2m/s 又B与A为非弹性碰撞，碰撞前B的速度为:?01碰撞后，A、B的共同速度为：?0??m?01?0.4m/s （方向向上）

M?m则t=0时，??x0??0.02m

??0?0.4m/s202?0可求得：A?x?2?0.0447(m)

? ??arctan?????0?x0?????0.65? ?10t?0.65?)m 可知A与B振动系统的振动表达式为：x?0.0447cos(