2018年全国高考新课标2卷文科数学试题（解析版）

高考真题 高三数学

?y=k(x-1)?

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由?2

??y=4x

得kx-(2k+4)x+k=0.

2222

2k+4

Δ=16k+16>0，故x1+x2=2. k

2

2

2k+4

所以|AB|= x1+x2+2=2+2=8 ，解得k=-1（舍去），k=1.

k

因此l的方程为y=x-1.

（2）由（1）得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3)，即y=-x+5. y0=-x0+5??2

设所求圆的圆心坐标为(x0,y0)，则?2(y0-x0+1)

(x0+1)=+16?2?

2

2

2

2

2

??x0=3

解得?

?y0=2?

??x0=11

或?

?y0=-6?

因此所求圆的方程为(x-3)+(y-2)=16或(x-11)+(y+6)=144.

21．（12分） 132

已知函数f(x)= x-a(x+x+1)．

3 （1）若a=3，求f(x)的单调区间； （2）证明：f(x)只有一个零点． 解：

21322

（1）当a=3时，f（x）=x-3x-3x-3)，f ′（x）=x-6x-3x?6x?3．

3

令f ′（x）=0解得x=3-23或x=3+23．

当x∈（–∞，3-23）∪（3+23，+∞）时，f ′（x）>0； 当x∈（3-23，3+23）时，f ′（x）<0． 故f（x）在（–∞，3-23），（3+23，+∞）单调递增，在（3-23，3+23）单调递减．

3x2

（2）由于x+x+1>0，所以f(x)=0等价于2 - 3a=0．

x+x+1

xx(x+2x+3)

设g(x)=2 - 3a，则g ′（x）=22 ≥0，仅当x=0时g ′（x）=0，所以g（x）在（–∞，+

x+x+1(x+x+1)∞）单调递增．故g（x）至多有一个零点，从而f（x）至多有一个零点．

11211

又f（3a–1）=-6a+2a- =-6(a- )- <0，f（3a+1）=>0，故f（x）有一个零点．

3663

综上，f（x）只有一个零点．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）

??x=2cosθ

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为?

?y=4sinθ?

3

2

2

??x=1+tcosα

（θ为参数），直线l的参数方程为?

?y=2+tsinα?

（t为参数）．

（1）求C和l的直角坐标方程；

（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率． xy

【解析】（1）曲线C的直角坐标方程为+=1．

416

当cosα≠0时，l的直角坐标方程为y=tanαx+2-tanα， 当cosα=0时，l的直角坐标方程为x=1．

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2

2

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（2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1+3cosα)t+4(2cosα+sinα)t-8=0．① 因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1+t2=0． 又由①得2cosα+sinα=0，，于是直线l的斜率k=tanα=-2． 23．[选修4－5：不等式选讲]（10分） 设函数f(x)=5-|x-a|-|x-2|．

（1）当a=1时，求不等式f(x)≥0的解集； （2）若f(x)≤1，求a的取值范围．

2

2

??2x+4 x≤-1

【解析】（1）当a=1时，?2 -1

?-2x+6 x>2 ?

（2）f(x)≤1等价于|x+a|+|x-2|≥4．

而|x+a|+|x-2|≥|a+2|，且当x=2时等号成立．故f(x)≤1等价于|a+2|≥4．得a≤-6或aα2， 所以a的取值范围是(-∞,-6]∪[2,+∞)．

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2018年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学试题参考答案

一、选择题 1．D 7．A

2．C 8．B

3．B 9．C

4．B

5．D

6．A 12．C

10．C 11．D

二、填空题 13．y=2x–2 三、解答题 17．解：

（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15． 由a1=–7得d=2．

所以{an}的通项公式为an=2n–9．

（2）由（1）得Sn=n–8n=（n–4）–16． 所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16． 18．解：

（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 $y=–30.4+13.5×19=226.1（亿元）．

2

2

14．9 15．

3 2 16．8π

利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 $y=99+17.5×9=256.5（亿元）．

（2）利用模型②得到的预测值更可靠． 理由如下：

（i）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=–30.4+13.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016y=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，年的数据建立的线性模型$因此利用模型②得到的预测值更可靠．

（ii）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1

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亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．

以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．学科@网 19．解：

（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP=23． 连结OB．因为AB=BC=12AC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB=AC=2．

2由OP2?OB2?PB2知，OP⊥OB． 由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC．

（2）作CH⊥OM，垂足为H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM． 故CH的长为点C到平面POM的距离．

由题设可知OC=12AC=2，CM=2423BC=3，∠ACB=45°．

所以OM=25OC?MC?sin3，CH=?ACB45OM=5．

所以点C到平面POM的距离为455． 20．解：

（1）由题意得F（1，0），l的方程为y=k（x–1）（k>0）． 设A（x1，y1），B（x2，y2）．

由??y?k(x?1)2?y2?4x得k2x?(2k2?4)x?k2?0． ??16k2?16?0，故x2k2?41?x2?k2． ?AF?BF?(x4k2所以AB?41?1)?(x2?1)?k2．

由题设知4k2?4k2?8，解得k=–1（舍去），k=1． 第 8 页 共 10 页

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