2018年全国高考新课标2卷文科数学试题（解析版）

高考真题 高三数学

2018年普通高等学校招生全国统一考试新课标2卷

文科数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．i(2+3i)=( )

A．3-2i B．3+2i C．-3-2i D．-3+2i 解析：选D

2．已知集合A={1,3,5,7}，B={2,3,4,5}，则A∩B=( )

A．{3} B．{5} C．{3,5} D．{1,2,3,4,5,7} 解析：选C

e-e

3．函数f(x)= 2的图像大致为 ( )

x

x

-x

e-e

解析：选B f(x)为奇函数，排除A,x>0,f(x)>0,排除D,取x=2,f(2)= >1,故选B

44．已知向量a，b满足|a|=1，a·b=-1，则a·(2a-b)= ( )

A．4 B．3 C．2 D．0

2

解析：选B a·(2a-b)=2a-a·b=2+1=3

5．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为 A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3

解析：选D 5人选2人有10种选法，3人选2人有3中选法。

xy

6．双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )

abA．y=±2x

2

2

2

2

-2

B．y=±3x

2

C．y=±

2x 2

D．y=±

3x 2

解析：选A e=3 c=3a b=2a

C5

7．在ΔABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB= ( )

25A．42

B．30

C．29

D．25

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32C222

解析：选A cosC=2cos -1= - AB=AC+BC-2AB·BC·cosC=32 AB=42

25

11111

8．为计算S=1- + - +……+ - ，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入( )

23499100

开始N?0,T?0i?1是1ii?100否N?N?T?T?S?N?T输出S结束1i?1 A．i=i+1 B．i=i+2 C．i=i+3 D．i=i+4 解析：选B

9．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为( ) A．

2 2

B．

3 2

C．

5

2

D．

7 2

解析：选C 即AE与AB所成角，设AB=2,则BE=5,故选C

10．若f(x)=cosx-sinx在[0,a]是减函数，则a的最大值是( ) A．

π 4

B．π 2

C．3π

4

D．π

解析：选C f(x)= 2cos(x+

ππ3π),依据f(x)=cosx与f(x)= 2cos(x+)的图象关系知a的最大值为。 444

0

11．已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60，则C的离心率为( ) A．1-

3

2

B．2-3 C．

3-1

D．3-1 2

解析：选D 依题设| PF1|=c,| PF2|=3c,由| PF1|+| PF2|=2a可得

12．已知f(x)是定义域为(-∞,+ ∞)的奇函数，满足f(1-x)= f(1+x)．若f(1)=2，则f(1)+f(2)+f(3)+ …+f(50)= ( )

A．-50 B．0 C．2 D．50

解析：选C 由f(1-x)= f(1+x)得f(x+2)=-f(x),所以f(x)是以4为周期的奇函数，且f(-1)=-f(1)=-2,f(0)=0,f(1)=2,f(2)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-2,f(4)=f(0)=0; f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=f(1)+f(2)=2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．曲线y=2lnx在点(1,0)处的切线方程为__________． 解析：y=2x-2

??x+2y-5≥0

14．若x,y满足约束条件?x-2y+3≥0 ,则z=x+y的最大值为__________．

?x-5≤0 ?

解析：9

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15．已知tan(α-

5π1

)=，则tanα=__________． 45

3

解析：由两角差的正切公式展开可得tanα=

2

16．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30，若ΔSAB的面积为8，则该圆锥的体积为__________．

11

解析：设母线为2a，则圆锥高为a，底面半径为3a,依题×2a×2a=8,∴a=2 ∴V=×π×(23)×2=8π

23三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生

都必须作答。第22、23为选考题。考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17．（12分）

记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1=-7，S3=-15． （1）求{an}的通项公式；

（2）求Sn，并求Sn的最小值． 解：（1）设{an}的公差为d，由题意得3 a1+3d=-15,由a1=-7得d=2. 所以{an}的通项公式为an=2n-9.

22

（2）由（1）得Sn=n-8n=(n-4)-16. 所以当n=4时, Sn取得最小值,最小值为?16. 18．（12分）

下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．

0

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年^

至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,…,17）建立模型①：y=-30.4+13.5t；根据2010年至2016^

年的数据（时间变量t的值依次为1,2,…,7）建立模型②：y=99+17.5t． （1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．

解：（1）利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为

^

y=-30.4+13.5×19=226.1 (亿元).

利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为

^

y=99+17.5×9=256.5 (亿元).

（2）利用模型②得到的预测值更可靠. 理由如下：

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^

（ⅰ）从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=-30.4+13.5t上下.这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016^

年的数据建立的线性模型y=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.

（ⅱ）从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理.说明利用模型②得到的预测值更可靠. 以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分. 19．（12分）

如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=22，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点． （1）证明：PO⊥平面ABC；

（2）若点M在棱BC上，且MC=2MB，求点C到平面POM的距离．

（1）证明：因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP=23. 21

AC，所以ΔABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB=AC=2. 22

222

由OP+OB=PB知OP⊥OB.

由OP⊥OB,OP⊥AC知OP⊥平面ABC.

（2）解：作CH⊥OM，垂足为H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM． 故CH的长为点C到平面POM的距离． 连结OB.因为AB=BC=

1242

由题设可知OC=AC =2，CM=BC=，∠ACB=45°．

233所以OM=

25OC·MC·sin∠ACB45，CH==． 3OM5

45

． 5

所以点C到平面POM的距离为

※也可用等积法求 20．（12分）

2

设抛物线C:y=4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|=8． （1）求l的方程；

（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程． 解：（1）由题意得F(1,0)，l的方程为y=k(x-1)(k>0).

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