立体几何三视图变式题

22AQ?QC2?AC11由余弦定理，得cos??cos?AQC ?12AQ?QC1 ?6?10?1215． ?1526?103．（北师大版．必修2．P31．第4题）

如图3，已知E，F分别是正方体ABCD?A且AE?C1F，1BC11D1的棱AA1和棱CC1上的点，求证：四边形EBFD1是平行四边形

D1A1EAD图3

B1C1FCB

变式题：如图3－1．已知E、F分别是正方体ABCD?A 1BC11D1的棱AA1和棱CC1的中点．（Ⅰ）试判断四边形EBFD1的形状； （Ⅱ）求证：平面EBFD1?平面BB1D1．

解（Ⅰ）如图3－2，取BB1的中点M，连结A1M、MF． ∵M、F分别是BB1和CC1的中点， ∴MF//?BC11，

在正方体ABCD?A1BC11D1中，有

D1C1B1FA1EAD图3－2

CBD1A1EAD图3－1

B1C1F//B1C1， ∴MF//A1D1??A1D1，

∴四边形A1MFD1是平行四边形，

CB//D1F． ∴AM1?5

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又E、M分别是AA1、BB1的中点，

∴A1E?//BM，

∴四边形A1EBM为平行四边形，

∴EB//?A1M． 故EB?//D1F． ∴四边形EBFD1是平行四边形． 又Rt?EAB≌Rt?FCB，

∴BE?BF，

故四边形EBFD1为菱形． （Ⅱ）连结EF、BD1、AC11． ∵四边形EBFD1为菱形，∴EF?BD1．

在正方体ABCD?A1BC11D1中，有

B1D1?AC11，

B1D1?A1A

∴B1D1?平面A1ACC1． 又EF?平面A1ACC1， ∴EF?B1D1． 又B1D1?BD1?D， ∴EF?平面BB1D1． 又EF?平面EBFD1， 故平面EBFD1?平面BB1D1

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4．（人教A版，必修2，P74．例2）

如图4，在正方体ABCD?A1BC11D1中，求直线A1B与平面A1B1CD所成的角．

D1C1B1A1DA图4

CB变式题：如图4－1，已知正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面边长D1C1B1EF点

AB?2，侧棱BB1的长为4，过点B作B1C的的垂线交侧棱CC1于A1E，交B1C于点F．

D（Ⅰ）求证：AC?平面BED； 1CBA图4－1

BDE所成的角的正弦值． （Ⅱ）求A1B与平面

解：（Ⅰ）如图4－2，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系D?xyz．

∴D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),A1(2,0,4),B1(2,2,4),C1(0,2,4),D1(0,0,4)．

????????设E(0,2,t)，则BE?(?2,0,t),BC?(?2,0,?4)． 1????????∵BE?B1C，∴BE?BC?4?0?4t?0． 1????∴t?1，∴E(0,2,1)，BE?(?2,0,1)．

A1zD1C1B1EF????????又AC?(?2,2,?4),DB?(2,2,0)， 1AD7

Cyx图4－2 B 共 12 页 第 7 页????????????????∴AC1?BE?4?0?4?0且AC1?DB??4?4?0?0． ????????????????∴AC?DB且AC?BE． 11????????????????????∴AC?BD且AC?BE．∴AC?平面BDE． 111????????（Ⅱ）由（Ⅰ）知AC?(?2,2,?4)是平面BDE的一个法向量，又A1B?(0,2,?4)， 1????????????????AC301?A1B????????∴cosAC． ,AB??116|AC1||A1B|BDE所成角的正弦值为∴A1B与平面

30． 65．（人教A版，必修2，P87，第10题）

如图5，已知平面?,?，且????AB,PC??,PD??,C,D是垂足，试判断直线AB与

CD的位置关系？并证明你的结论．

?CBP?DA图5

变式题5－1，如图5，已知平面?,?，且????AB,PC??,PD??,C,D是垂足． （Ⅰ）求证：AB?平面PCD；

（Ⅱ）若PC?PD?1,CD?2，试判断平面?与平面?的位置关系，并证明你的结论．

变式题5－1，如图5，已知平面?,?， 且????AB,PC??,PD??,C,D是垂足． （Ⅰ）求证：AB?平面PCD；

（Ⅱ）若PC?PD?1,CD?2，试判断平面?与平面?的位置关系，并证明你的结论．

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?PACDB?图5－1

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