2019_2020学年高中数学综合测试卷新人教A版选修4_1

在Rt△DEC中，∵DE＋EC＝DC，

222

x－1x?x2－1?2?x?22

即??＋?2?＝1，∴x2＋4＝1. ?x???

336

整理得x＝4，∴x＝2.∴AC＝2.

20．(本小题满分12分)如图所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1，⊙O2于点D，E，DE与AC相交于点P.

(1)求证：AD∥EC；

(2)若AD是⊙O2的切线且PA＝6，PC＝2，BD＝9，求AD的长．

224

【解析】(1)证明：如图所示，连接AB．

∵AC是⊙O1的切线， ∴∠BAC＝∠D．

∵∠BAC＝∠E，∴∠D＝∠E. ∴AD∥EC．

(2)设BP＝x，PE＝y. ∵PA＝6，PC＝2. ∴xy＝12.① ∵AD∥EC， ∴

DPAP9＋x6＝?＝.② PEPCy2

??x＝3，由①②可得，?

?y＝4?

??x＝－12，

或?

?y＝－1?

(舍去)，

∴DE＝9＋x＋y＝16.

∵AD是⊙O2的切线，∴AD＝DB·DE＝9×16＝144. ∴AD＝12.

21．(本小题满分12分)如图所示，BC为⊙O的直径，AB＝AD，过点A的切线与CD的延长线交于点E.

(1)试猜想∠AED是否等于90°.为什么？

2

(2)若AD＝25，ED∶EA＝1∶2，求⊙O的半径； (3)在(2)的条件下，求∠CAD的正弦值．

【解析】(1)∠AED＝90°，如图所示，连接AB．

∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°. ∵AE切⊙O于A，∴∠EAD＝∠ACD． 又∠ACD＝∠ACB，∴∠EAD＝∠ACB． 又∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADE＝∠B． ∴△AED∽△CAB．∴∠AED＝∠CAB＝90°. (2)∵AD＝25，ED∶EA＝1∶2，∠AED＝90°， ∴ED＝2，EA＝4.

又AB＝AD＝25，△AED∽△CAB．

ADEDAD·AB25∴＝.∴BC＝＝CBABED2

∴⊙O的半径为5. (3)过D作DF⊥AC于F.

2

＝10.

在△ABC中，AC＝BC－AB＝45. ∴在△AEC中，CE＝8. ∴CD＝6.

又△CDF∽△CBA，∴＝. ∴DF＝

22DFCDABCBCD·AB6×2565

＝＝. CB105

DF6513

×＝.

AD5255

∴sin∠DAC＝＝

22．(本小题满分12分)(2014年新课标Ⅰ)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E且CB＝CE.

(1)求证：∠D＝∠E；

(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，求证：△ADE为等边三角形．

【证明】(1)∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，

∴∠D＝∠CBE. ∵CB＝CE. ∴∠E＝∠CBE. ∴∠D＝∠E.

(2)设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC， ∴O在直线MN上．

∵AD不是⊙O的直径，AD的中点为M， ∴MN⊥AD． ∴AD∥BC． ∴∠A＝∠CBE. 又∠CBE＝∠E， ∴∠A＝∠E. 由(1)知，∠D＝∠E. ∴△ADE为等边三角形．