第十章 10.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理

§10.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理

知识梳理：

1．分类加法计数原理：完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，……，在第n类办法中有mn种方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种方法(也称加法原理)．

2．分步乘法计数原理：完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，……，做第n步有mn种方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种方法(也称乘法原理)．

3．分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事的不同方法的种数．它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成． 课前检测：

1．三个人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下．由甲开始踢，经过3次传递后，毽子又被踢回给甲．则不同的传递方式共有( ) A．5种 B．2种 C．3种 D．4种 答案 B 解析 传递方式有甲→乙→丙→甲；甲→丙→乙→甲．

2．(2013·山东)用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( ) A．243 B．252 C．261 D．279 答案 B

解析 由分步乘法计数原理知，用0,1，…，9十个数字组成三位数(可用重复数字)的个数为9×10×10＝900，组成没有重复数字的三位数的个数为9×9×8＝648.则组成有重复数字的三位数的个数为900－648＝252.故选B.

3．(2013·福建)满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为( ) A．14 B．13 C．12 D．10 答案 B

解析 当a＝0时，关于x的方程为2x＋b＝0，此时有序数对(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)均满足要求；当a≠0时Δ＝4－4ab≥0，ab≤1此时满足要求的有序数对为(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)．综上，满足要求的有序数对共

有13个，故选B.

4．用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．(用数字作答) 答案 14

解析 数字2,3至少都出现一次，包括以下情况： “2”出现1次，“3”出现3次，共可组成C14＝4(个)四位数． “2”出现2次，“3”出现2次，共可组成C24＝6(个)四位数． “2”出现3次，“3”出现1次，共可组成C34＝4(个)四位数．综上所述，共可组成14个这样的四位数． 5．五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，则报名方法的种数为________．五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，获得冠军的可能性有_____种．答案 45 54 解析 报名的方法种数为4×4×4×4×4＝45(种)．获得冠军的可能情况有5×5×5×5＝54(种). 应用示例：

题型一 分类加法计数原理的应用

例1 高三一班有学生50人，男生30人，女生20人；高三二班有学生60人，男生30人，女生30人；高三三班有学生55人，男生35人，女生20人． (1)从高三一班或二班或三班中选一名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？ (2)从高三一班、二班男生中，或从高三三班女生中选一名学生任学生会体育部长，有多少种不同的选法？ 思维点拨 按班级分类．

解 (1)完成这件事有三类方法：第一类，从高三一班任选一名学生共有50种选法；第二类，从高三二班任选一名学生共有60种选法；第三类，从高三三班任选一名学生共有55种选法，根据分类加法计数原理，任选一名学生任学生会主席共有50＋60＋55＝165(种)选法． (2)完成这件事有三类方法：第一类，从高三一班男生中任选一名共有30种选法；第二类，从高三二班男生中任选一名共有30种选法；第三类，从高三三班女生中任选一名共有20种选法．综上知，共有30＋30＋20＝80(种)选法．

思维升华 分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，重点在于抓住题目中的关键词或关键元素、关键位置．首先根据题目特点恰当选择一个分类标准；其次分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类．

在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？

解 方法一 按个位数字分类，个位可为2,3,4,5,6,7,8,9，共分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别有1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，则共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36个．

方法二 按十位数字分类，十位可为1,2,3,4,5,6,7,8，共分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个，则共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36个．

题型二 分步乘法计数原理的应用

例2 有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(不一定六名同学都能参加) (1)每人恰好参加一项，每项人数不限； (2)每项限报一人，且每人至多参加一项； (3)每项限报一人，但每人参加的项目不限．

解 (1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同选法，由分步乘法计数原理，知共有选法36＝729(种)．

(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目只有4种选法，由分步乘法计数原理，得共有报名方法6×5×4＝120(种)．

(3)由于每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，由分步乘法计数原理，得共有不同的报名方法63＝216(种)．

思维升华 (1)利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事．

(2)分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成．

已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，若a，b，c∈M，则：

(1)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个不同的二次函数； (2)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个图像开口向上的二次函数．

解 (1)a的取值有5种情况，b的取值有6种情况，c的取值有6种情况，因此y＝ax2＋bx＋c可以表示5×6×6＝180(个)不同的二次函数．

(2)y＝ax2＋bx＋c的图像开口向上时，a的取值有2种情况，b、c的取值均有6种情况，因此y＝ax2＋bx＋c可以表示2×6×6＝72(个)图像开口向上的二次函数． 题型三 两个原理的综合应用

例3 如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一

条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数．

思维点拨 染色问题是常见的计数应用问题，可从选颜色、选顶点进行分类、分步，从不同角度解决问题．

解 方法一 可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步乘法计数原理即可得出结论．由题设，四棱锥S—ABCD的顶点S、A、B所染的颜色互不相同，它们共有5×4×3＝60(种)染色方法．

当S、A、B染好时，不妨设其颜色分别为1、2、3，若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4，则D可染3或5，有2种染法；若C染5，则D可染3或4，有2种染法．可见，当S、A、B已染好时，C、D还有7种染法，故不同的染色方法有60×7＝420(种)． 方法二 以S、A、B、C、D顺序分步染色． 第一步，S点染色，有5种方法；

第二步，A点染色，与S在同一条棱上，有4种方法； 第三步，B点染色，与S、A分别在同一条棱上，有3种方法；

第四步，C点染色，也有3种方法，但考虑到D点与S、A、C相邻，需要针对A与C是否同色进行分类，当A与C同色时，D点有3种染色方法；当A与C不同色时，因为C与S、B也不同色，所以C点有2种染色方法，D点也有2种染色方法．由分步乘法、分类加法计数原理得不同的染色方法共有5×4×3×(1×3＋2×2)＝420(种)． 方法三 按所用颜色种数分类．

第一类，5种颜色全用，共有A55种不同的方法；

第二类，只用4种颜色，则必有某两个顶点同色(A与C，或B与D)，共有2×A45种不同的方法；

第三类，只用3种颜色，则A与C、B与D必定同色，共有A35种不同的方法． 由分类加法计数原理，得不同的染色方法种数为A55＋2×A45＋A35＝420. 思维升华 (1)应用两个计数原理的难点在于明确分类还是分步． (2)分类要做到“不重不漏”，正确把握分类标准是关键． (3)分步要做到“步骤完整”，步步相连能将事件完成． (4)较复杂的问题可借助图表完成．

如图，正五边形ABCDE中，若把顶点A、B、C、D、E

染上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法共有( )

A．30种 B．27种 C．24种

D．21种 答案 A

解析 由题意知本题需要分类来解答，首先A选取一种颜色，有3种情况．如果A的两个相邻点颜色相同，有2种情况；这时最后两个点也有2种情况；如果A的两个相邻点颜色不同，有2种情况；这时最后两个点有3种情况． ∴方法共有3(2×2＋2×3)＝30种． 课堂小结：

方法与技巧 1．分类加法和分步乘法计数原理，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事． 2．分类标准要明确，做到不重复不遗漏． 3．混合问题一般是先分类再分步． 4．要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律．

失误与防范 1．切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行． 2．分类的关键在于要做到“不重不漏”，分步的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步． 3．确定题目中是否有特殊条件限制． 课后作业：1、预习 2、册子：