光的衍射

第十四章 光的衍射

一 基本要求

1． 了解惠更斯-菲涅耳原理。理解分析单缝夫琅和费衍射条纹分布规律的方法。会分析缝宽及波长对衍射条纹分布的影响。

2． 理解光栅公式。会确定光栅衍射谱线的位置。会分析光栅常数及波长对光栅衍射谱线分布的影响。

二 重要概念

1．光的衍射 波在传播过程中遇到障碍物时，能够绕过障碍物的边缘前进。这种偏离直线传播的现象称为波的衍射。光波由于波长很短，所以只有当障碍物的尺度比光的波长不是差很多时才能观察到光的衍射。光的衍射说明衍射是波的重要特征之一。

2．惠更斯-菲涅耳原理 波的衍射现象可以用惠更斯原理作定性说明，但它不能解释光的衍射图样中光强的分布。菲涅耳发展了惠更斯原理，他认为波在传播过程中，从同一波阵面上各点发出的子波，经传播而在空间某点相遇时，产生相干叠加。这个发展了的惠更斯原理称为惠更斯-菲涅耳原理。 3． 光学仪器的分辨本领

仅从几何光学的角度讲，总可以找到提高放大率的方法使任何微小物体或远处物体放大到清晰可见的程度。但实际上受到光的衍射的限制，当放大率达到一定程度时，即使再增加放大率，光学仪器分辨物体细节的性能也不会提高了。即光学仪器的分辨能力有一个极限，为什么会有极限和分辨极限的大小就是我们要讨论的光学仪器的分辨本领。 4． 光栅衍射

（1）光栅 由大量等宽等间隔的平行狭缝构成的光学元件称为光栅。一般可把光栅分成透射光栅和反射光栅。一般常用的透射光栅是在光学平玻璃板上刻出大量的平行刻痕，刻痕为不透光部分，两刻痕之间的光滑部分可以透光，相当于一个个的狭缝。精制的光栅可在1cm的宽度内刻有上千条乃至成万条刻痕，造价昂贵，一般使用经过复制的透射光栅。

（2）光栅常数 如果光栅的总缝数为N，其中缝宽为a，缝间不透光部分

宽为b，则把(a?b)?d称为光栅常数或光栅常量。

（3）光栅衍射 如果把平行单色光垂直入射到光栅上，透过光栅每条缝的光都会产生衍射，这N条缝的N套衍射条纹通过会聚透镜后，又互相发生干涉，会形成细又亮的干涉主极大（明条纹），所以光栅衍射就是单缝衍射和多缝干涉的总效果。

三、基本规律

1. 单缝衍射

asin??k? (k??1,?2,,?) k级暗纹位置，其中在k??1的两个第一级

暗纹之间的区域，即

???asin??? 范围为中央明纹

asin??(2k?1)?2 k级亮纹

2．光栅公式

??k? (k?0,?1,?2,,?) 明纹（主极大） (a?b)sin3．当同时满足下列两式时，称缺k级.

?(a?b)sin??k?a?b?k?k? (k???1,?2,,?) ??aasin??k??四、习题选解

14-4．在复色光照射下的单缝衍射图样中，其中某一波长的第3级明纹位置恰与波长??600nm的单色光的第2级明纹位置重合，求这光波的波长。

解：设单缝宽度为a，衍射明条纹的衍射角满足：

asin???(2k?1)?2 (k?1,2,?)

由题意，波长??600nm的光线为第2级明条纹与波长为??时的第3级明条纹重合

5? 22?'7asin??(2?3?1)???

2255??????600nm?428.6nm

77asin??(2?2?1)??14-5．在单缝衍射实验中，如果缝宽a等于入射单色光的（1）1个波长；（2）10个波长；（3）102个波长；（4）104个波长时，分别计算其中央明条纹边沿的衍射角，结果说明什么问题？

??解：中央明条纹边沿衍射角为 sin?a

(1)当a??时， sin??1;??90?

1;??5?44? 101(3)当a?102?时, sin??2?10?2;??34?

101(4) 当a?104?时, sin??4?10?4;??20.6??

10(2)当a?10?时, sin??结果说明缝宽越宽时，衍射条纹越密，而且当缝宽远大于波长时??0，光线沿轴向传播，这是光线直线传播的经典极限。 14-6．在下面单缝衍射的示意图中，缝宽

a处的波阵面恰好分成四个半波带。光线

1和3是同周相的，光线2和4也是同周相

的。为什么P点不是极大而是极小？

答：尽管光线1与3同周相，2与4

也是同周相，但光线1与2反相，3与4也是反相的，所以四个波带的光最后在P点相互抵消，而出现暗条纹。

14-7．（1）在单缝衍射中，为什么衍射角?越大（级数越大）的那些明条纹的亮度就越小？

（2）当把全部装置放入水中时，单缝衍射的图样将发生怎样的变化？在此情况下，如果用公式

asin???(2k?1)

?2 (k?1,2,3,?)

来测定光的波长，问所测出的波长是水中的波长，还是空气中的波长？

答：（1）衍射角越大，则asin?可分的半波带数目asin??2也越多，而每

一半波带的面积以及相应的光能量越小。再因为级数越高的明条纹，相消的半波带的数目也越多，留下未相消的一个半波带形成明条纹，因此它的亮度就越小了。

（2）当把全部装置放在水中时，由于光波在水中的波长变短了，变为真空中的n分之一，因此单缝衍射条纹变密了n倍。如在此情况下，用公式

asin???(2k?1)?2 (k?1,2,3,?)

来测定光的波长，应是光在水中的波长。

14-8．波长为500nm的平行光线垂直入射于一宽为1mm的狭缝，若在缝的后面有一焦距为100cm的薄透镜，使光线聚焦于一屏幕上，试问从衍射图样的中心点到下列各点的距离如何？

（1） 第一极小；（2）第二级明纹的极大处；（3）第三极小。

解：（1）单缝衍射各级极小的条件为：asin???k?， (k?1,2,3,?) 衍射图形的第一级极小，可令k?1求得：asin??? 它离中心点距离

500?109?4x1?ftan??fsin??f?1?m?5?10m?0.50mm ?3a1?10??asin??2.5?（2） 第二级明条纹的位置为：?

??ftan??x12.5?2.5?500?10?9?3??fsin??fx1?1?m?1.25?10m?1.25mm ?3a1?10?asin??3?（3） 第三级极小的位置为：?

?x3?ftan?3?3?500?10?9?3x3?fsin??f?1?m?1.5?10m?1.5mm ?3a1?1014-9．有一单缝，宽a?0.10mm，在缝后放一焦距为50cm的会聚透镜。用平行绿光（??546nm）垂直照射单缝，求位于透镜焦平面处的屏幕上的中央明条纹的宽度。如把此装置浸入水中，中央明条纹角宽度如何变化？

解：中央明条纹角宽度满足公式：

???nasin???

空气中，n?1

又D??a,所以sin??tan?