2020年中考数学二轮复习讲练测 专题11 直角三角形的应用与解直角三角形(讲练)(解析版)

三讲方法——方法点睛

1、解决有关三角函数的基本概念的问题要掌握三角函数的定义并且只有在直角三角形中才能应用. 2、熟记各特殊角度的三角函数值．

3、在解直角三角形时，许多问题中并不是直角三角形，而是要通过构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题．通常通过作三角形的高，构造一个包含所求角的直角三角形，然后利用三角函数定义解决．

四练实题——随堂小练

1．(2020·江苏省初三期中)sin60°=( ) A．

1 2B．

2 2C．1 D．3 2【答案】D 【解析】

根据特殊三角函数值即可得sin60°=3，故选D. 22．(2020·湖北省初三一模)如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点． 已知菱形的一个角(∠O)为60°，A，B，C 都在格点上，则tan∠ABC的值是 ．

A．3 2B．3 3C．3 4D．

3 6【答案】A 【解析】

EC，AE=3a，EB=2a，如图，连接EA，设菱形的边长为a，由题意得∠AEF=30°，∠BEF=60°，∴∠AEB=90°，∴tan∠ABC=

AE3a3==，故选A． BE2a2

3．(2020·黑龙江省初三一模)如图，滑雪场有一坡角为20°的滑雪道，滑雪道的长AC为100米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度AB的长为( )

A．

100

cos20?B．

100

sin20?C．1OOcos20° D．100sin20°

【答案】D 【解析】 ∵sin∠C=故选D．

4．(2020·山东省初三一模)如图，在热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，热气球C的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是( )

AB，∴AB=AC?sin∠C=100sin20°， AC

A．200米 【答案】D 【解析】 【分析】

B．2003米 C．2203米

D．100(3?1)米

在热气球C处测得地面B点的俯角分别为45°，BD=CD=100米，再在Rt△ACD中求出AD的长，据此即可求出AB的长． 【详解】

∵在热气球C处测得地面B点的俯角分别为45°， ∴BD＝CD＝100米，

∵在热气球C处测得地面A点的俯角分别为30°， ∴AC＝2×100＝200米，

∴AD＝2002?1002＝1003米，

∴AB＝AD+BD＝100+1003＝100(1+3)米， 故选D． 【点睛】

本题考查了解直角三角形的应用--仰角、俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．5．(2019·江苏省中考模拟)如图，□ABCD中，AE⊥BD于E，AE＝3，∠EAC＝30°，则AC的长等于_______．

【答案】43 【解析】

如图，在直角△AOE中，

cos?EAO?AE， OA∴

OA?AE3??23． cos?EAO32又∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AC?2OA?43．

6．(2020·山东省济南稼轩学校初三其他)如图，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等．若等腰直角三角形ABC的直角顶点C在l1上，另两个顶点A、B分别在l3、l2上，则tanα的值是______．

【答案】

1 3【解析】

如图，分别过点A，B作AE⊥l1，BF⊥l1，BD⊥l3,垂足分别为E，F，D.

∵△ABC为等腰直角三角形，∴AC=BC，∠ACB=90°，∴∠ACE+∠BCF=90°.∵AE⊥l1，BF⊥l1∴∠CAE+

∠ACE=90°，∠CBF+∠BCF=90°， ∴∠CAE=∠BCF，∠ACE=∠CBF.

AC=BC，AE=CF.设平行线间距离为d=l，∵∠CAE=∠BCF，∠ACE=∠CBF，∴△ACE≌△CBF，∴CE=BF，则CE=BF=BD=1，AE=CF=2，AD=EF=CE+CF=3， ∴tanα=tan∠BAD=

BD1=. AD3点睛：分别过点A，B作AE⊥l1，BF⊥l1，BD⊥l3，垂足分别为E，F，D，可根据ASA证明△ACE≌△CBF，设平行线间距离为d=1，进而求出AD、BD的值；本题考查了全等三角形的判定和锐角三角函数，解题的关键是合理添加辅助线构造全等三角形；

7．(2020·重庆初三)问题背景：如图，将?ABC绕点A逆时针旋转60°得到?ADE，DE与BC交于点P，可推出结论：PA?PC?PE

问题解决：如图，在?MNG中，MN?6，?M?75?，MG?42．点O是?MNG内一点，则点O到

?MNG三个顶点的距离和的最小值是___________

【答案】229 【解析】 【分析】

如图，将△MOG绕点M逆时针旋转60°，得到△MPQ，易知△MOP为等边三角形，继而得到点O到三顶点的距离为：ON＋OM＋OG＝ON＋OP＋PQ，由此可以发现当点N、O、P、Q在同一条直线上时，有ON＋OM＋OG最小，此时，∠NMQ＝75°+60°＝135°，过Q作QA⊥NM交NM的延长线于A，利用勾股定理进行求解即可得. 【详解】

如图，将△MOG绕点M逆时针旋转60°，得到△MPQ， 显然△MOP为等边三角形， ∴，OM＋OG＝OP＋PQ，

∴点O到三顶点的距离为：ON＋OM＋OG＝ON＋OP＋PQ， ∴当点N、O、P、Q在同一条直线上时，有ON＋OM＋OG最小，