数据结构习题集与实验指导

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?00000000??00000?2??00000000??000090??????03000800??000000? ?? 00000000(2)???(1)?005000?00060000??????000000??00000000???000030?00000005??????20000000?解：参见填空题4. 三元素组表中的每个结点对应于稀疏矩阵的一个非零元素，它包含有三个数据项，分别表示该元素的 行下标 、 列下标 和 元素值 。 所以（1）可列表为： （2）可列表为： 8 3 3 5 7 8 8 2 6 4 8 1 5 3 8 6 5 2 6 1 2 4 6 6 5 3 4 -2 9 5 4. 下列各三元组表分别表示一个稀疏矩阵，试写出它们的稀疏矩阵。

?646??455??122??111??????2112??249???(1)?313? (2)??

328???444??356???536????437????6116??解：（1）为6×4矩阵，非零元素有6个。 （2）为4×5矩阵，非零元素有5个

0 2 0 0 1 0 0 0 0

12 0 0 0 0 0 0 9 0

3 0 0 0 0 8 0 0 6

0 0 0 4 0 0 7 0 0

0 0 6 0

16 0 0 0

五、算法设计题

1. 试设计一个算法，将数组An 中的元素A[0]至A[n-1]循环右移k位，并要求只用一个元素大小的

附加存储，元素移动或交换次数为O(n) 解：

分析:要把A的元素循环右移k位,则A[0]移至A[k],A[k]移至A[2k]......直到最终回到A[ 0].然而这并没有全部解决问题,因为有可能有的元素在此过程中始终没有被访问过,而是被跳了过去.分析可知,当n和k的最大公约数为p时,只要分别以A[0],A[1],...A[p-1]为起点执行上述算法,就可以保证每一个元素都被且仅被右移一次,从而满足题目要求.也就是说,A的所有元素分别处在p个\循环链\上面.举例如下:

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n=15,k=6,则p=3.

第一条链:A[0]->A[6],A[6]->A[12],A[12]->A[3],A[3]->A[9],A[9]->A[0]. /已“顺便”移动了A[6]、A[12]… 第二条链:A[1]->A[7],A[7]->A[13],A[13]->A[4],A[4]->A[10],A[10]->A[1]. 第三条链:A[2]->A[8],A[8]->A[14],A[14]->A[5],A[5]->A[11],A[11]->A[2]. 恰好使所有元素都右移一次.

虽然未经数学证明,但作者相信上述规律应该是正确的. 程序如下：

void RSh(int A[n],int k)//把数组A的元素循环右移k位,只用一个辅助存储空间 {

for(i=1;i<=k;i++)

if(n%i==0&&k%i==0) p=i;//求n和k的最大公约数p for(i=0;i

j=i;l=(i+k)%n;temp=A[i]; while(l!=i) {

A[j]=temp; temp=A[l]; A[l]=A[j]; j=l;l=(j+k)%n; }// 循环右移一步 A[i]=temp; }//for }//RSh

第六章 树和二叉树

一、下面是有关二叉树的叙述，请判断正误

（ √ ）1. 若二叉树用二叉链表作存贮结构，则在n个结点的二叉树链表中只有n—1个非空指针域。 （ × ）2.二叉树中每个结点的两棵子树的高度差等于1。 （ √ ）3.二叉树中每个结点的两棵子树是有序的。

（ × ）4.二叉树中每个结点有两棵非空子树或有两棵空子树。

（ × ）5.二叉树中每个结点的关键字值大于其左非空子树（若存在的话）所有结点的关键字值，且

小于其右非空子树（若存在的话）所有结点的关键字值。 （应当是二叉排序树的特点）

k-1i

（ × ）6.二叉树中所有结点个数是2-1，其中k是树的深度。（应2-1）

（ × ）7.二叉树中所有结点，如果不存在非空左子树，则不存在非空右子树。

ii-1

（ × ）8.对于一棵非空二叉树，它的根结点作为第一层，则它的第i层上最多能有2—1个结点。（应2） （ √ ）9.用二叉链表法（link-rlink）存储包含n个结点的二叉树，结点的2n个指针区域中有n+1

个为空指针。

（正确。用二叉链表存储包含n个结点的二叉树，结点共有2n个链域。由于二叉树中，除根结点外，每一个结点有且仅有一个双亲，所以只有n-1个结点的链域存放指向非空子女结点的指针，还有n+1个空指针。）即有后继链接的指针仅n-1个。

（ √）10.具有12个结点的完全二叉树有5个度为2的结点。

最快方法：用叶子数＝[n/2]＝6，再求n2=n0-1=5

二、填空

1． 由３个结点所构成的二叉树有 5 种形态。

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2. 一棵深度为6的满二叉树有 n1+n2=0+ n2= n0-1=31 个分支结点

6-1

和 2 =32 个叶子。

注：满二叉树没有度为1的结点，所以分支结点数就是二度结点数。 3． 一棵具有２５７个结点的完全二叉树，它的深度为 9 。 （ 注：用? log2(n) ?+1= ? 8.xx ?+1=9

4.设一棵完全二叉树有700个结点，则共有 350 个叶子结点。

答：最快方法：用叶子数＝[n/2]＝350

5. 设一棵完全二叉树具有1000个结点，则此完全二叉树有 500 个叶子结点，有 499 个度为2的结点，有 1 个结点只有非空左子树，有 0 个结点只有非空右子树。

答：最快方法：用叶子数＝[n/2]＝500 ，n2=n0-1=499。 另外，最后一结点为2i属于左叶子，右叶子是空的，所以有1个非空左子树。完全二叉树的特点决定不可能有左空右不空的情况，所以非空右子树数＝0.

6.一棵含有n个结点的k叉树，可能达到的最大深度为 n ，最小深度为 2 。 答：当k=1(单叉树)时应该最深，深度＝n（层）；当k=n-1（n-1叉树）时应该最浅，深度＝2（层），但不包括n=0或1时的特例情况。教材答案是“完全k叉树”，未定量。) 7.二叉树的基本组成部分是：根（N）、左子树（L）和右子树（R）。因而二叉树的遍历次序有六种。最常用的是三种：前序法（即按N L R次序），后序法（即按 L R N 次序）和中序法（也称对称序法，即按L N R次序）。这三种方法相互之间有关联。若已知一棵二叉树的前序序列是BEFCGDH，中序序列是FEBGCHD，则它的后序序列必是 F E G H D C B 。 解：法1：先由已知条件画图，再后序遍历得到结果；

法2：不画图也能快速得出后序序列，只要找到根的位置特征。由前序先确定root，由中序先确定左子树。例如，前序遍历BEFCGDH中，根结点在最前面，是B；则后序遍历中B一定在最后面。

法3：递归计算。如B在前序序列中第一，中序中在中间（可知左右子树上有哪些元素），则在后序中必为最后。如法对B的左右子树同样处理，则问题得解。 8.中序遍历的递归算法平均空间复杂度为 O(n) 。

答：即递归最大嵌套层数，即栈的占用单元数。精确值应为树的深度k+1，包括叶子的空域也递归了一次。

9. 用5个权值{3, 2, 4, 5, 1}构造的哈夫曼（Huffman）树的带权路径长度是 33 。

解：先构造哈夫曼树，得到各叶子的路径长度之后便可求出WPL＝（4＋5＋3）×2＋（1＋2）×3=33

三、单项选择题

（ C ）1． 不含任何结点的空树 。

（Ａ）是一棵树; （Ｂ）是一棵二叉树;

（Ｃ）是一棵树也是一棵二叉树; （Ｄ）既不是树也不是二叉树

答：以前的标答是B，因为那时树的定义是n≥1

（ C ）2．二叉树是非线性数据结构，所以 。

（Ａ）它不能用顺序存储结构存储; （Ｂ）它不能用链式存储结构存储;

（Ｃ）顺序存储结构和链式存储结构都能存储; （Ｄ）顺序存储结构和链式存储结构都不能使用 （ C ）3.具有n(n>0)个结点的完全二叉树的深度为 。

(Ａ) ?log2(n)? (Ｂ) ? log2(n)? (Ｃ) ? log2(n) ?+1 (Ｄ) ?log2(n)+1?

注1：?x ?表示不小于x的最小整数；? x?表示不大于x的最大整数，它们与[ ]含义不同！

注2：选（A）是错误的。例如当n为2的整数幂时就会少算一层。似乎? log2(n) +1?是对的？ （ A ）4．把一棵树转换为二叉树后，这棵二叉树的形态是 。

（Ａ）唯一的 （Ｂ）有多种

（Ｃ）有多种，但根结点都没有左孩子 （Ｄ）有多种，但根结点都没有右孩子

5. 从供选择的答案中，选出应填入下面叙述 ？ 内的最确切的解答，把相应编号写在答卷的对

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应栏内。

树是结点的有限集合，它A 根结点，记为T。其余的结点分成为m（m≥0）个 B

的集合T1，T2，…，Tm，每个集合又都是树，此时结点T称为Ti的父结点，Ti称为T的子结点（1≤i≤m）。一个结点的子结点个数为该结点的 C 。 供选择的答案

A： ①有0个或1个 ②有0个或多个 ③有且只有1个 ④有1个或1个以上 B: ①互不相交 ② 允许相交 ③ 允许叶结点相交 ④ 允许树枝结点相交 C： ①权 ② 维数 ③ 次数（或度） ④ 序 答案：ABC＝1，1，3

6. 从供选择的答案中，选出应填入下面叙述 ？ 内的最确切的解答，把相应编号写在答卷的对应栏内。

二叉树 A 。在完全的二叉树中，若一个结点没有 B ，则它必定是叶结点。每棵树都能惟一地转换成与它对应的二叉树。由树转换成的二叉树里，一个结点N的左子女是N在原树里对应结点的 C ，而N的右子女是它在原树里对应结点的 D 。 供选择的答案

A： ①是特殊的树 ②不是树的特殊形式 ③是两棵树的总称 ④有是只有二个根结点的树形结构

B: ①左子结点 ② 右子结点 ③ 左子结点或者没有右子结点 ④ 兄弟

C～D： ①最左子结点 ② 最右子结点 ③ 最邻近的右兄弟 ④ 最邻近的左兄弟 ⑤ 最左的兄弟 ⑥ 最右的兄弟

答案：A= B= C= D＝ 答案：ABCDE＝2，1，1，3

四、 简答题

1.一棵度为2的树与一棵二叉树有何区别？

答：度为2的树从形式上看与二叉树很相似，但它的子树是无序的，而二叉树是有序的。即，在一般树中若某结点只有一个孩子，就无需区分其左右次序，而在二叉树中即使是一个孩子也有左右之分。 2.设如下图所示的二叉树B的存储结构为二叉链表，root为根指针，结点结构为：（lchild,data,rchild）。其中lchild，rchild分C的结点类型定义如下： 别为指向左右孩子的指针，data为字符型，root为根指针，试struct node 回答下列问题： {char data; 1. 对下列二叉树B，执行下列算法traversal(root)，试指出其输struct node *lchild, rchild; 出结果； }; 2. 假定二叉树B共有n个结点，试分析算法traversal(root)的 时间复杂度。 C算法如下： void traversal(struct node *root) A {if (root) B D {printf(“%c”, root->data); C F G 二叉树B traversal(root->lchild); E printf(“%c”, root->data); 解：这是“先根再左再根再右”，比前序遍历多打印各结点一次，traversal(root->rchild); 输出结果为：A B C C E E B A D F F D G G } 特点：①每个结点肯定都会被打印两次；②但出现的顺序不同，} 其规律是：凡是有左子树的结点，必间隔左子树的全部结点后 再重复出现；如A，B，D等结点。反之马上就会重复出现。如C，E，F，G等结点。 时间复杂度以访问结点的次数为主，精确值为2*n，时间渐近度为O(n).

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