第二章 薛定谔方程 习题

第二章 波函数和薛定谔方程 习题解答

第二章 薛定谔方程 习题 (课本44页)

2.1 证明在定态中，概率流密度与时间无关。

证明：当一个系统处于定态时，其波函数?(r,t)可以写作，

?????Et? ??i??(r,t)??(r)exp??于是便有，

?(r,t)??(r)exp?*?*??i?Et? ???根据概率流密度的定义式(2.4-4)有，

?i?J?(???2m?*????)?iE?????*t????exp???iE??????iE???t????exp??t??? ?????????iE?t??????????*i???iE??*?expt????exp???2m?????i???iE??iE??iE?**?exp?texpt????expt?exp??????2m???????????i?i?****(???????)?(???????) 即有，J?2m2m?显然，在定态中概率流密度与时间无关。从某种意义上说明上述波函数称为定态波函数是名副其实的。

2.2 由下列两定态波函数计算概率流密度：⑴ ?1?1rexp(ikr)，⑵ ?2?1rexp(?ikr)。

从所得结果说明?1表示向外传播的球面波，?2表示向内(即向原点)传播的球面波。

解：在解本题之前，首先给出一个函数f的梯度在球坐标系下的表达式，即

???1?f??f?e?1?f?e? ?f?er???rr??rsin???⑴ 首先求解函数?1的概率流密度

?i?**J1?(?1??1??1??1)2m?i??exp(ikr)exp(?ikr)exp(?ikr)exp(ikr)??????2m?rrrr?ikrikr?e?ikr??eike?????e?r?2?rr??r

???k?????er2?mr??1

ikr?ikr?ikr?i??e?e?ike????e??r?22m?rrr?青海民族大学 电子工程与信息科学系 李林

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???可见，概率流密度J1与r同号，这便意味着J1的指向是向外的，即?1表示向外传播的球面

波。

⑵ 同理，可以得到?2的概率流密度

?i?**J2?(?2??2??2??2)2m?i??exp(?ikr)exp(ikr)exp(ikr)exp(?ikr)??????2m?rrrr?

?ikrikrikr?ikr?eikr?e?ikr???i??eike?e?ike?k?????????e???e????e??r?rr222?2m?rr?rr?rmr?r???????这里的负号，即为概率流密度J2与r的符号相反，意味着概率流密度J2的指向是向内

的，即波函数?2表示向内传播的球面波。 2.3 一粒子在一维势场

x?0??,?U(x)??0,0?x?a

??,x?a?中运动，求粒子的能级和对应的波函数。

解：在量子力学中，一维薛定谔方程扮演着非常重要的角色。

其一，一维问题是微分方程中最简单、最基础的问题，通过解一维薛定谔方程，不但可以了解到量子力学中不同于经典力学的结果，如能量的量子化和势垒的贯穿等，还可以解更高维薛定谔方程的基础，如经典的氢原子的结构问题和现代的黑洞的结构问题，这些问题通过分离变量，最终化成求解一维薛定谔方程问题。

其二，随着现代科学技术的发展，在实验室中已经制成了一维的或准一维的系统，这样，求解一维薛定谔方程对于理解这些系统的性质起着至关重要的作用。

一维薛定谔方程的求解一般有两大类：一类是束缚态的求解，即求解束缚态的能级及相应的波函数；一类是散射问题，即求解散射态的反射系数、透射系数以及相应的波函数。这两类问题实质上也是整个初等量子力学所关注的最主要的两类问题。

具体到本题，显然是一维薛定谔方程中的束缚态问题。具体求解如下： 在势阱内(0?x?a)，一维薛定谔方程的定态波动方程为，

?2?d?(x)dx222??E?(x)?d?(x)dx22??2?E?2?(x)

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其中E?0，如果令k?2?E，则上述方程为，

?d2?(x)2dx2?k?(x)?0

于是上述方程的解可表示为，

?(x)?Asinkx?Bcoskx。

在势阱外(x?0,x?a)，根据波函数应满足的连续性和有限性条件可知，?(x)?0(x?0,x?a)

则，由第一个边界条件?(0)?0知，B?0。于是波函数为，

?(x)?Asinkx(A?0)

再根据第二个边界条件?(a)?0有，

Asinka?0

这就意味，ka?n??k?n?a，其中n为正整数。

由k?2?E?E?(k?)2?2?，便可求出粒子的能级为，

22E??n2?2?a2

然后，再对波函数进行归一化处理，??|?(x)|2dx?1，即，

???a220|A|sin(kx)dx?1??asin2(kx)d(kx)?kk

0|A|2?ka2?|A|2于是，|A|?2，不失一般性，取A?2aa。

在此所使用的数学积分公式：

????sin2xdx?1x?1sin(2x?24)?C ????cos2xdx?12x?14sin(2x)?C青海民族大学 电子工程与信息科学系 李林

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则，对应的波函数为，

?2?n?x?sin??,0?x?a,??(x)??a ?a??x?0orx?a.?0,最后，作几点说明：

首先，既然n为正整数，则能量的最小值为?2?能。

其二，对于无限方势阱，量子化的能量间隔不是等距的。

其三，显然方势阱的宽度越小，相应的能级越高，这也可以看作是海森伯不确定性原理的一个表现：当方势阱的宽度越小，那么粒子位置的不确定度就越小，这样，根据海森伯不确定性原理，粒子的动量的不确定度就越大，于是，相应的能量便越高。

其四，从波函数的形式，基态波函数没有节点，第一激发态有一个节点，第k个激发态有k个节点，这表明：当粒子的能级越高，其相应的波函数的空间分布上的起伏就越厉害。

2.4 证明(2.6-14)式中的归一化常数是A??解：已知粒子的波函数为

n??(x?a),?A?sin?n??2a?0,?|x|?a|x|?a2(2?a)，这是纯粹量子效应的零点

21a。

(2.6-14)

对波函数进行归一化处理，

????|?|dx?1?2?n???|2sin2?|A(x?a)?dx?1 ??a?2a?a令上式的左边为A，再构造B，即

??A????B????n???|2sin2?|A(x?a)?dx??a2a??a?n???|2cos2?|A(x?a)?dx??a2a??a

两式相加，得，

A?B?|A?|?2a

2两式相减，应用公式，cos??sin??cos(2?)，有

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