2017年吉林省吉林大学附中高考数学模拟试卷（理科）

∵S关于μ在[S（）=∴

21．=设f（x）垂直．

（Ⅰ）求a的值；

]上单调递增，

，S（2）=． ．

f，曲线y=f（x）在点（1，（1））处的切线与直线x+y+1=0

（Ⅱ）若对于任意的x∈[1，+∞），f（x）≤m（x﹣1）恒成立，求m的取值范围；

（Ⅲ）求证：ln（4n+1）≤16

（n∈N*）．

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．

【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，结合f'（1）=1列式求得a值；

（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的a值代入函数解析式，由f（x）≤m（x﹣1）得到

，构造函数

≤0．然后对m分类讨论求导求得m的取值范围； m=1时，（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当x＞1时，

成立．令

，

，即?x∈[1，+∞），g（x）

然后分别取i=1，2，…，n，利用累加法即可证明结论． 【解答】（Ⅰ）解：﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 由题设f'（1）=1，∴（Ⅱ）解：设

，即a=0；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ f，?x∈[1，+∞），（x）≤m（x﹣1），即，即?x∈[1，+∞），g（x）≤0．

，g'（1）=4﹣4m．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

，

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

①若m≤0，g'（x）＞0，g（x）≥g（1）=0，这与题设g（x）≤0矛盾； ②若m∈（0，1），当＞g（1）=0，与题设矛盾；

③若m≥1，当x∈（1，+∞），g'（x）≤0，g（x）单调递减，g（x）≤g（1）=0，即不等式成立；

综上所述，m≥1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，当x＞1时，m=1时，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 不妨令∴即

，

，

，，…，

累加可得：ln（4n+1）≤16

[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的方程为x2=4y+4．

（1）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；

，g（x）单调递增，g（x）

成立．﹣﹣

，

．

（n∈N*）．

（2）直线l的参数方程是求l的斜率．

l与C交于A，B两点，（t为参数），|AB|=8，

【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程． 【分析】（1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ可得抛物线C的极坐标方程；

（2）设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方

程得cos2αρ2﹣4sinαρ﹣4=0，利用极径的几何意义，即可求解．

y=ρsinθ可得抛物线C的极坐标方程ρ2cos2θ﹣4ρsinθ【解答】解：（1）由x=ρcosθ，﹣4=0；

（2）在（1）中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ=α（ρ∈R）， 设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得cos2αρ2﹣4sinαρ﹣4=0，

∵cos2α≠0（否则，直线l与抛物线C没有两个公共点） 于

是

，，

由|AB|=8得

所以l的斜率为1或﹣1．

[选修4-5：不等式选讲]

23．设函数f（x）=|2x﹣1|+|2x﹣3|，x∈R． （1）解不等式f（x）≤5； （2）若

的定义域为R，求实数m的取值范围．

，

【考点】绝对值不等式的解法；函数的值域．

【分析】（1）对不等式）|2x﹣1|+|2x﹣3|≤5，分x≥，＜x＜和x＜三种情况进行讨论，转化为一元一次不等式求解， 把求的结果求并集，就是原不等式的解集． （2）

的定义域为R，转化为则f（x）+m≠0恒成立，即f（x）+m=0

在R上无解，求函数f（x）的最小值． 【解答】解：（1）不等式的解集为（2）若

或

或

的定义域为R，则f（x）+m≠0恒成立，即f（x）+m=0在

R上无解

又f（x）=|2x﹣1|+|2x﹣3|≥|2x﹣1﹣2x+3|=2，f（x）的最小值为2， 所以m＞﹣2．