2017年吉林省吉林大学附中高考数学模拟试卷（理科）

∴sin（B+C）=sinA，

∴2sinAcosB+sinA=0，即sinA（2cosB+1）=0， ∵sinA≠0，∴

，

；

代入余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB得：

，

∵B为三角形的内角，∴（II）将

b2=（a+c）2﹣2ac﹣2accosB，即∴ac=3， ∴

．

18．BD垂直相交于点O，OC=3．在四边形ABCD中，对角线AC，且OA=OB=OD=4，

将△BCD沿BD折到△BED的位置，使得二面角E﹣BD﹣A的大小为90°（如图）．已知Q为EO的中点，点P在线段AB上，且（Ⅰ）证明：直线PQ∥平面ADE；

（Ⅱ）求直线BD与平面ADE所成角θ的正弦值．

．

【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．

【分析】（Ⅰ）证明PR∥平面ADE，RQ∥平面ADE，可得平面PQR∥平面ADE，即可证明：直线PQ∥平面ADE；

（Ⅱ）由等体积法可得点O到平面ADE的距离，即可求直线BD与平面ADE所成角θ的正弦值．

【解答】（Ⅰ）证明：如图，取OD的中点R，连接PR，QR，则DE∥RQ， 由题知

，又

，故AB：AP=4：1=DB：DR，因此AD∥PR，

因为PR，RQ?平面ADE，

且AD，DE?平面ADE，故PR∥平面ADE，RQ∥平面ADE， 又PR∩RQ=R，

故平面PQR∥平面ADE，从而PQ∥平面ADE．…6分 （Ⅱ）解：由题EA=ED=5，则由等体积法可得故

，因此

．…12分．

，设点O到平面ADE的距离为d，

，

19．班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25位女同学，15位男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析．

（Ⅰ）如果按性别比例分层抽样，求样本中男生、女生人数分别是多少； （Ⅱ）随机抽取8位同学，数学成绩由低到高依次为：60，65，70，75，80，85，90，95；

物理成绩由低到高依次为：72，77，80，84，88，90，93，95，若规定90分（含90分）以上为优秀，记ξ为这8位同学中数学和物理分数均为优秀的人数，求ξ的分布列和数学期望．

【考点】离散型随机变量的期望与方差；分层抽样方法；离散型随机变量及其分布列．

【分析】（I）利用分层抽样的性质能求出按性别比例分层抽样抽取女生数和男生数．

（II）ξ的所有可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．

【解答】解：（I）从全班25位女同学，15位男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析，

按性别比例分层抽样抽取女生数为：男生数为：

人．…4分

=5人，

（II）ξ的所有可能取值为0，1，2…5分，

，

，

…8分

ξ的分布列为 ξ p 0 1 2 …12分．

20．已知F1、F2是椭圆

+

=1的左、右焦点，O为坐标原点，点P（﹣1，

+

=；

）

在椭圆上，线段PF2与y轴的交点M满足（1）求椭圆的标准方程；

（2）⊙O是以F1F2为直径的圆，一直线l：y=kx+m与⊙O相切，并与椭圆交于不同的两点A、B．当

=λ且满足≤λ≤时，求△AOB面积S的取值范围．

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．

【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出，由此能求出椭圆的标准方程．

（Ⅱ）由圆O与直线l相切，和m2=k2+1，由﹣2=0，由此能求出△AOB面积S的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）∵

+

x2+4kmx+2m2，得（1+2k2）

=，∴点M是线段PF2的中点，

∴OM是△PF1F2的中位线， 又OM⊥F1F2∴PF1⊥F1F2

∴

，解得a2=2，b2=1，c2=1，

∴椭圆的标准方程为=1．

，即m2=k2+1，

（Ⅱ）∵圆O与直线l相切，∴

由

，消去y：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，

∵直线l与椭圆交于两个不同点，

∴△＞0，∴k2＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则x1+x2=﹣

，

，

y1y2=（kx1+m）（kx2+m） ==

，

=x1x2+y1y2==λ，

∴S=S△AOB==

，∴

，解得：，

=

设μ=k4+k2，则S=

，

，

， ，