当前位置：首页 > 二阶常微分方程解
在应用上不方便。在实际问题中，常常需要实数形式的通解，为此利用欧拉公式
eix＝cosx＋isinx，e－ix＝cosx－isinx
1有 (eix＋e－ix)＝cosx
21 (eix－e－ix)＝sinx
2i11αxiβx－iβxαx
(y1＋y２)＝e(e＋e)＝ecosβx
2211αxiβx－iβx
(y1－y2)＝e(e－e)＝eαxsinβx
2i2i11由上节定理一知， (y1＋y2)， (y1－y2)是方程
2i2αxαx
(7.1)的两个特解，也即ecosβx，esinβx是方程(7.1)的两个特解：且它们线性无关，由上节定理二知，方程(7.1)的通解为
y＝C1ecosβx＋C2esinβx 或 y＝eαx(C1cosβx＋C2sinβx)
其中C1，C2为任意常数，至此我们已找到了实数形式的通解，其中α，β分别是特征方程(7.2)复数根的实部和虚部。
综上所述，求二阶常系数线性齐次方程(7.1)的通解，只须先求出其特征方程(7.2)的根，再根据他的三种情况确定其通解，现列表如下
αx
αx
2dyd2y特征方程r＋pr＋q＝0的微分方程2＋p＋qy根 dxdx＝0的通解 r1xr2x有二个不相等的实根r1，y＝C1e＋C2e r2 有二重根r1＝r2 y＝(C1＋C2x)er1x r1???i?y＝eαx(C1cosβx＋C2sin有一对共轭复根 r2???i?βx) 例1. 求下列二阶常系数线性齐次方程的通解
dyd2y (1) 2＋3－１０y＝0
dxdxdyd2y(2) 2－4＋4y＝0
dxdxdyd2y(3) 2＋4＋7y＝0
dxdx解 (1)特征方程r2＋3r－10＝0有两个不相等的实根
r1＝－5，r2＝2
所求方程的通解 y＝C1e－5r＋C2e2x (2)特征方程r－4r＋4＝0，有两重根 r1＝r2＝2
所求方程的通解y＝(C1＋C2x)e2x (3)特征方程r2＋4r＋7＝0有一对共轭复根 r1＝－2＋3i r2＝－2－3i
2
所求方程的通解 y＝e
－2x
(C1cos3x＋C2sin3x)
§7.2 二阶常系数线性非齐次方程的解法
由上节线性微分方程的结构定理可知，求二阶常系数线性非齐次方程
dyd2y 2＋p＋qy＝f(x) (7.3)
dxdx的通解，只要先求出其对应的齐次方程的通解，再求出其一个特解，而 后相加就得到非齐次方程的通解，而且对应的齐次方程的通解的解法，前面已经解决，因此下面要解决的问题是求方程(7.3)的一个特解。
方程(7.3)的特解形式，与方程右边的f(x)有关，这里只就f(x)的两种常见的形式进行讨论。 一、f(x)＝pn(x)eαx，其中pn(x)是n次多项式，我们先讨论当α＝0时，即当 f(x)＝pn（x）时方程
dyd2y 2＋p＋qy＝pn(x) (7.4)
dxdx的一个特解。 (1)如果q≠0，我们总可以求得一n次多项式满足
此方程，事实上，可设特解y＝Qn(x)＝a0xn＋a1xn－1＋…＋an，其中a0，a1，…an是待定常数，将y及其导数代入方程(7.4)，得方程左右两边都是n次多项式，比较两边x的同次幂系数，就可确定常数a0，a1，…an。
~~d2ydy2
例1. 求2＋＋2y＝x－3的一个特解。
dxdx2
解 自由项f(x)＝x－3是一个二次多项式，又q＝2≠0，则可设方程的特解为 y＝a0x2＋a1x＋a2 求导数 y'＝2a0x＋a1 y\＝2a0
代入方程有2a0x＋(2a0＋2a1)x＋（2a0＋a1＋2a２）＝x2－3比较同次幂系数
?2a0?11? ?2a0?2a1?0 解得 a1??
2?2a?a?2a??3?0127a2??4~1217所以特解y＝x－x－
2242
~~~1a0?2
本文作者：...共分享92篇相关文档
