物理竞赛专题训练（力学）

静力学难题（二）

一、四个相同的球静止在光滑的大半球形碗内，它们的中心同在一水平面内，今以另一相同的球放在四球之上，若碗的半径大于球的半径k倍时，则四球将互相分离。试求此k值。（所有的接触面都是光滑的。）

参考答案：k = 213+ 1

二、一均匀圆桌面由三条相互等距的桌腿在圆桌边缘上支撑着，桌腿重量忽略不计。某人坐在正对着一条桌腿的圆桌边上，恰好使圆桌以另两条桌腿着地点联机为轴而倾倒。圆桌倾倒后他再坐到圆桌面的最高点上，恰好又能使圆桌恢复过来。试求桌面半径与桌腿长度之比值。

参考答案：2

三、如图1所示，一根细棒，上端A处用绞炼与天花板相连，下端B用绞炼与另一细棒相连，两棒长度相等，两棒只限于图示的垂直面内运动，且不计绞炼处的摩擦。当在C端加一适当的外力（在纸面内）可使两棒平衡在图标位置处，即两棒间夹角为90°，且C端正处在A端的正下方。试问：

（1）不管两棒的质量如何，此外力只可能在哪个方向的范围内？ （2）如果AB棒的质量1kg ，BC棒的质量2kg ，此外力的大小和方向若何？

参考答案：（1）在角ACB內向右上方；（2）F = 19.0N ，sinθ =358。

四、一空心圆环形圆管沿一条直径截成两部分，一半竖立在铅垂平面内，如图2所示，两管口处在一水平线上。现向管内注入与管壁相切的小钢珠，左、右侧第一个钢珠都与圆管截面相切。已知每个钢珠重W ，共2n个。求从左边起第k个和第（k + 1）个钢珠之间相互作用的正向力量值Nk 。假设系统中处处无摩擦。

k?2nW 参考答案：Nk =

?sin2nsin

5

五、如图3所示，一轻质木板EF长为L ，E端用铰炼固定在铅直墙面上，另一端用水平轻绳FD拉住。木板上依次放着（2n + 1）个圆柱体，半径均为R ，每个圆柱体重量均为W ，木板与墙的夹角为α ，一切摩擦都可略去，求FD绳上的张力T 。

参考答案：T =

(2n?1)R11W(2+2+ 2ntanα) Lsin?sin??cos?

六、如图4所示，代表某一铅直平面，在此面内有两根均匀细杆AB和BC ，质量相同，长度分别为l1和l2 ，它们共同接触水平地面，端点记为B ，各自的另一端A和C分别靠在相对的两堵垂直墙上。已知墙面间距离为l ，且l＞l1 ，l1＞l2 ，且l1 + l2＞l ，系统处处无摩擦。试求：两杆平衡时它们与水平地面倾斜角φ1 、φ2各多大？

l参考答案：φ1 = φ2 = cos-1

l1?l2

七、如图5所示，两完全相同的木板，长度均为l ，质量均为m ，彼此以光滑铰链B相接，并通过光滑铰链A与铅直墙相连，为使两木板均呈水平状态达到平衡，试问应在何处施力？最小的作用力是多少？

34参考答案：B右侧距l处，mg 。

23

八、如图6所示，用20块质量均匀分布相同光滑积木块，在光滑水平面上一块迭一块地搭成单孔桥。已知每一称木块的长度为L ，横截面是边长为h（h =L）的正方形。要求此桥具有最大的跨度（即桥孔底宽），试计算跨度K与桥孔高度H的比值。

参考答案：

6

14K= 1.258 H静力学难题（三）

一、如图1所示，物体A 、B及滚轮C质量均为M 。滚轮C由固定在一起的两个同心圆盘组成，半径分别为2r和r ，各接触面静摩擦系数均为μ 。试求：系统维持平衡时，μ的最小值为多少？

参考答案：13

二、如图2所示，质量M1之物体P与质量为M2之物体Q以细绳连接跨过一光滑小滑轮，放置于与水平成45°角之两倾斜面上，呈静力平衡，设物体与斜面之摩擦系数为0.5 。试问：

（1）若将此系统以顺时钟方向慢慢旋转，旋转θ角时物体开始滑动，则tanθ为若干？

（2）若将此系统以逆时钟方向慢慢旋转，旋转θ角时物体开始滑动，则tanθ为若干？

参考答案：（1）tanθ =3M1?M23M2?M1M?3M；（2）tanθ =3M。

121?M2

三、如图3所示，用夹具夹一半径为R的球体，夹具每个臂与球面之间的摩擦系数均为μ ，为了能够夹住球体，试问夹具的臂长L至少应为多少？设重力的影响可忽略。

参考答案：L≥

R?

四、如图4所示，三个半径、质量均相同的圆柱体如图的方式堆放在地面，互相接触。已知圆柱体之间的摩擦系数为μ1 ，圆柱体与地面之间的摩擦系数为μ2 ，试求使三圆柱体达到平衡所需之μ1 、μ2的最小值。

参考答案：μ11min =2?3，μ2min =13(2?3)

7

五、长为a ，高为h ，重为W的均匀长方体放在水平桌面上，开始时长方体右侧面与桌面的边缘切齐，如图5所示。现从左侧面中心加水平力推长方体，使其沿桌面等速滑动，设长方体跟桌面间摩擦系数为μ ，那么从开始至长方体欲下翻，此水平力F之量值为多少？长方体移动之距离s为多少？

参考答案：F = μW ，s =(a－μh)

六、如图6所示，将重为W的均匀木杆的一端用光滑铰链连接于墙上B点，另一端放在光滑半球面上A点，A点到水平地面的高度为h ，半球体的球半径R 。且R = 2h ，当该物体静止时，木杆恰呈水平，则半球体底面与粗糙水平地面的摩擦力为何。

参考答案：3W ，方向向右。 212

七、一均质圆柱体的重量W ，放在开口为90°的V形槽中，如图7所示。现欲在此槽中转动此圆柱体，最小需作用一力偶矩m ，设圆柱体直径为D ，试求此圆柱体与V形槽间的摩擦系数。

D?D2?4参考答案：μ =

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八、如图8所示，A 、B是两个带柄（a和b）的完全相同的长方形物体，C是一长方体，C的质量为m ，它们迭放在一起，并放在倾斜角为θ的斜面上。A 、B与斜面间以及与C之皆有摩擦，C与A或B及斜面之间的静摩擦系数均为μ0 ，设它们原来都处于静止状态。

（1）若一手握住a ，使A不动，另一手握住b ，逐渐用力将B沿倾斜角为θ的斜面上拉，当力增大到能使B刚刚开始上移时，C动不动？若动，如何动？

（2）此时A与C之间的摩擦力多大？ （3）若握住b使B不动，握住a逐渐用力将A沿倾斜角为θ的斜面往下拉，当A开始移动时，C动不动？若动，如何动？

参考答案：（1）静止不动；（2）mg[μ0(cosθ－sinθ)] ；（3）C与A一起沿斜面向下移动。

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