(优辅资源)黑龙江省高三上学期12月月考数学试卷(理科) Word版含解析

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③四边形MENF周长L=f（x），x∈[0，1]是单调函数； ④四棱锥C′﹣MENF的体积V=h（x）为常数； 以上结论正确的是 ①②④ ．

【考点】命题的真假判断与应用；棱柱的结构特征．

【分析】利用直线与平面垂直的判定定理判断①的正误；直线与平行判断②的正误；分析说明函数的单调性判断③的正误；求出几何体的体积即可判断④的正误． 【解答】解：对于①：显然，EF⊥BD，又EF⊥DD′， ∴EF⊥平面BDD′B′， ∴平面MENF⊥平面BDD′B′； ∴①正确；

对于②：由已知条件，E、F是所在棱的中点，则EF∥ac，且EF?平面MENF，AC?平面MENF，

∴直线AC∥平面MENF始终成立， 故②正确；

对于③：M在A时，N在D′，MENF的周长最大，MN在所在棱的中点时，MENF的周长最小，M在B′，N在B时，MENF的周长最大， 四边形MENF周长L=f（x），x∈[0，1]不是单调函数． 故③不正确；

对于④：连结C′E，C′M，C′N，则四棱锥则分割为两个小三棱锥， 它们以C′EF为底，以M，N分别为顶点的两个小棱锥．

因为三角形C′EF的面积是个常数．M，N到平面C'EF的距离是个常数， 所以四棱锥C'﹣MENF的体积V为常函数，所以④正确． 综上，正确的有①②④． 故答案为：①②④．

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【点评】本题重点考查了空间中平行和垂直关系的判断和性质等知识，命题真假的判定，属于中档题

16．关于x的不等式（ax﹣1）（lnx+ax）≥0在（0，+∞）上恒成立，则实数a的取值范围是 a≤﹣或a=e ． 【考点】函数恒成立问题．

【分析】分类讨论，将不等式转化，即可求出实数a的取值范围． 【解答】解：a＜0，则lnx+ax≤0，令y=lnx+ax，则y′=+a， ∴0＜x＜﹣时，y′＞0，x＞﹣时，y′＜0

∴x=﹣时，函数取得最大值ln（﹣）﹣1， ∵lnx+ax≤0，

∴ln（﹣）﹣1≤0，∴a≤﹣；

a=0时，则lnx≤0，在（0，+∞）上不恒成立，不合题意； a＞0时，

或

，a=e，

综上，a≤﹣或a=e．

【点评】本题考查求实数a的取值范围，考查导数知识，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．

三、解答题（共6小题，满分70分）

17．已知锐角三角形ABC中内角A、B、C的对边分别为a，b，c，a2+b2=6abcosC，且sin2C=2sinAsinB． （1）求角C的值；

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（2）设函数

间的距离为π，求f（A）的取值范围．

，且f（x）图象上相邻两最高点

【考点】余弦定理；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．

【分析】（1）利用正弦定理与余弦定理可求得cosC的值，即可求得C的值；

（2）化简函数，利用周期确定ω，进而可得函数的解析式，即可求f（A）的取值范围．

【解答】解：（1）∵sin2C=2sinAsinB，∴由正弦定理有：c2=2ab， 由余弦定理有：a2+b2=c2+2abcosC=c2（1+cosC）① 又a2+b2=6abcosC=3c2cosC②

由①②得1+cosC=3cosC，∴cosC=， 又0＜C＜π，∴C=（2）

；

=

sin（ωx﹣

）

∵f（x）图象上相邻两最高点间的距离为π， ∴T=π ∴∴ω=2 ∴f（x）=∴f（A）=∵

＜A＜

sin（2x﹣sin（2A﹣

） ）

＜

，∴0＜2A﹣

）≤1 ．

∴0＜sin（2A﹣∴0＜f（A）≤

【点评】本题考查正弦定理与余弦定理，考查三角函数的图象与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．

18．已知命题p：函数f（x）=x2+ax﹣2在[﹣2，2]内有且仅有一个零点．命题q：x2+ax+2≤0在区间[1，2]内有解．若命题“p且q”是假命题，求实数a的取值范围．

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【考点】复合命题的真假．

【分析】命题p：函数f（x）=x2+ax﹣2在[﹣2，2]内有且仅有一个零点．△＞0，可得f（﹣2）f（2）≤0，解得a范围．命题q：x2+ax+2≤0在区间[1，2]内有解，可得a≤

．由命题“p且q”是假命题，可得p与q都是假命题．即可得出．

【解答】解：命题p：函数f（x）=x2+ax﹣2在[﹣2，2]内有且仅有一个零点．

△=a2+8＞0，∴f（﹣2）f（2）=（2﹣2a）（2+2a）≤0，解得a≥1，或a≤﹣1．

=﹣3．

命题q：x2+ax+2≤0在区间[1，2]内有解，∴a≤∵命题“p且q”是假命题，∴p与q都是假命题． ∴

，解得﹣1＜a＜1．

∴实数a的取值范围是（﹣1，1）．

【点评】本题考查了不等式的解法、函数的性质、方程的实数根与判别式的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

19．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n（n+1）（n∈N*）． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若数列{bn}满足： （Ⅲ）令

，求数列{bn}的通项公式；

（n∈N*），求数列{cn}的前n项和Tn．

【考点】数列的求和；数列的函数特性；等差数列的通项公式．

【分析】（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=2，当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=n（n+1）﹣（n﹣1）n=2n，由此能求出数列{an}的通项公式．

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