北京市海淀区2017届高三（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

2016-2017学年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷（理科）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．已知集合A={x|x＞2}，B={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，则A∩B=（ ） A．{x|x＞1} B．{x|2＜x＜3} C．{x|1＜x＜3} D．{x|x＞2或x＜1} 2．已知向量=（﹣1，2），=（2，﹣4）．若与（ ） A．垂直 B．不垂直也不平行

C．平行且同向 D．平行且反向 3．函数y=2x+A．1

B．2

的最小值为（ ） C．2

D．4

4．已知命题p：?c＞0，方程x2﹣x+c=0 有解，则￢p为（ ） A．?c＞0，方程x2﹣x+c=0无解 B．?c≤0，方程x2﹣x+c=0有解 C．?c＞0，方程x2﹣x+c=0无解 D．?c＜0，方程x2﹣x+c=0有解 5．已知函数y=ax，y=xb，y=logcx的图象如图所示，则（ ）

A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a

6．设，是两个向量，则“|+|＞|﹣|”是“?＞0”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

7．已知函数f（x）=cos4x+sin2x，下列结论中错误的是（ ） A．f（x）是偶函数 C．

B．函f（x）最小值为

）内是减函数

是函f（x）的一个周期 D．函f（x）在（0，

8．如图所示，A是函数f（x）=2x的图象上的动点，过点A作直线平行于x轴，交函数g（x）=2x+2的图象于点B，若函数f（x）=2x的图象上存在点C使得△ABC为等边三角形，则称A为函数f（x）=2x上的好位置点．函数f（x）=2x上的好位置点的个数为（ ）

A．0

B．1 C．2 D．大于2

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二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

9．已知数列{an}的前n项和Sn=3n+1，则a2+a3= ． 10．若角θ的终边过点P（3，﹣4），则sin（θ﹣π）= ． 11．已知正方形ABCD边长为1，E是线段CD的中点，则?

= ．

x+

）

12．去年某地的月平均气温y（℃）与月份x（月）近似地满足函数y=a+bsin（

（a，b为常数）．若6月份的月平均气温约为22℃，12月份的月平均气温约为4℃，则该地8月份的月平均气温约为 ℃． 13．设函数f（x）=

（a＞0，且a≠1）．

①若a=，则函数f（x）的值域为 ；

②若f（x）在R上是增函数，则a的取值范围是 ．

14．已知函数f（x）的定义域为R．?a，b∈R，若此函数同时满足： ①当a+b=0时，有f（a）+f（b）=0； ②当a+b＞0时，有f（a）+f（b）＞0， 则称函数f（x）为Ω函数． 在下列函数中： ①y=x+sinx； ②y=3x﹣（）x；

③y=

是Ω函数的为 ．（填出所有符合要求的函数序号）

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．

15．已知数列{an}是公差为2的等差数列，数列{bn满足bn+1﹣bn=an，且b2=﹣18，b3=﹣24． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）求bn取得最小值时n的值． 16．已知函数f（x）=cos（2x﹣（Ⅰ）求f（

）的值；

）﹣cos2x．

（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间． 17．已知函数f（x）=x3﹣9x，函数g（x）=3x2+a． （Ⅰ）已知直线l是曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线，且l与曲线y=g（x）相切，求a的值；

（Ⅱ）若方程f（x）=g（x）有三个不同实数解，求实数a的取值范围．

18．如图，△ABC是等边三角形，点D在边BC的延长线上，且BC=2CD，AD=． （Ⅰ）求CD的长；

（Ⅱ）求sin∠BAD的值．

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19．已知函数f（x）=ex（x2+ax+a）． （Ⅰ）求f（x）的单调区间；

（Ⅱ）求证：当a≥4时，函数f（x）存在最小值．

20．已知数列{an}是无穷数列，满足lgan+1=|lgan﹣lgan﹣1|（n=2，3，4，…）．

（Ⅰ）若a1=2，a2=3，求a3，a4，a5的值；

（Ⅱ）求证：“数列{an}中存在ak（k∈N*）使得lgak=0”是“数列{an}中有无数多项是1”的充要条件；

（Ⅲ）求证：在数列{an}中?ak（k∈N*），使得1≤ak＜2．

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2016-2017学年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷（理

科）

参考答案与试题解析

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．已知集合A={x|x＞2}，B={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，则A∩B=（ ） A．{x|x＞1} B．{x|2＜x＜3} C．{x|1＜x＜3} D．{x|x＞2或x＜1} 【考点】交集及其运算．

【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可． 【解答】解：由B中不等式解得：1＜x＜3，即B={x|1＜x＜3}， ∵A={x|x＞2}，

∴A∩B={x|2＜x＜3}， 故选：B．

2．已知向量=（﹣1，2），=（2，﹣4）．若与（ ） A．垂直 B．不垂直也不平行

C．平行且同向 D．平行且反向

【考点】平行向量与共线向量；数量积判断两个平面向量的垂直关系． 【分析】直接利用向量关系，判断即可． 【解答】解：向量=（﹣1，2），=（2，﹣4）．=﹣2，所以两个向量共线，反向． 故选：D．

3．函数y=2x+A．1

B．2

的最小值为（ ）

C．2 D．4

【考点】基本不等式．

【分析】直接利用基本不等式化简求解即可． 【解答】解：函数y=2x+

≥2

=2

，当且仅当x=时，等号成立．

故选：C．

4．已知命题p：?c＞0，方程x2﹣x+c=0 有解，则￢p为（ ） A．?c＞0，方程x2﹣x+c=0无解 B．?c≤0，方程x2﹣x+c=0有解 C．?c＞0，方程x2﹣x+c=0无解 D．?c＜0，方程x2﹣x+c=0有解 【考点】命题的否定．

【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．

【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p：?c＞0，方程x2﹣x+c=0 有解，则￢p为?c＞0，方程x2﹣x+c=0无解． 故选：A．

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