天津市七校(静海一中、宝坻一中、杨村一中等)2020届高三上学期期中考试联考数学试题 Word版含解析

【解析】 【分析】

（1）设出公比q和公差d，将已知转化为q，d的方程组，解方程组，结合a1?b1?1，即可得到{an}和{bn}的通项公式；

（2）将要求的算式分组后，分别用等比数列的求和公式和错位相减法求和相加即可； （3）将a分离后，转化为a?f(n)在N*上恒成立，进而转化为求函数f(n)?12n?3(1?111)(1?)?(1?)在N*上的最小值． b1b2bn【详解】解：（1）设数列{an}的公比为q，数列{bn}的公差为d，由题意q?0，

?2q2?3d?2由已知有?4，消去d整理得：q4?2q2?8?0，

?q?3d?10,Qq?0，解得q=2，

?d?2，

?数列{an}的通项公式为an=2n-1，n?N*，

数列{bn}的通项公式为bn?2n?1，n?N*；

?1?（2）Qcn??bn??2n为奇数n为偶数，

?a1c1?a2c2????a2nc2n?(a1?a3??a2n?1)?(a2b1?a4b2???a2nbn)，

令An?a1?a3??a2n?1?2?2???2022n?21?4n4n?1?? 1?43124n) 令Bn?a2b1?a4b2???a2nbn?(1g4?3g4???(2n?1)g2令Tn?1g4?3g42???(2n?1)g4n4Tn?1g43????(2n?3)g4n?(2n?1)g4n?1

??3Tn?4?2(4?4???4)?(2n?1)g4?Tn?20(6n?5)n?1?g4 9923nn?142?4ng420(6n?5)n?1?4?2?(2n?1)g4n?1???g4

1?43317(12n?7)n?a1c1?a2c2????a2nc2n?An?Bn?An?Tn??g4；

299（3）对任意正整数n，不等式a2n?3?(1?)(1?即a?12n?3(1?1b111)?(1?)成立 b2bn111)(1?)?(1?)对任意正整数n成立 b1b2bn记f(n)??1??1??1?? ?1???1??L?1?2n?3?b2??b3??bn?1?1f(n?1)2n?312n?32n?44n2?16n?16则?(1?)???1

2f(n)b2n?32n?52n?54n?16n?15n?2?f(n?1)?f(n)，即f?n?递增

故[f(n)]min?f(1)??0?a?45． 1545， 15【点睛】本题考查了等差数列和等比数列通项公式，分组求和，公式求和以及错位相减法求和，不等式恒成立问题．考查了分析解决问题的能力和推理转化能力．属于难题． 20.已知f(x)?asinx(a?R),g(x)?ex.

（I）若0?a?1，判断函数G(x)?f(1?x)?lnx在(0,1)的单调性；

2（II）设F(x)?g(x)?mx?2(x?1)?k(k?R)，对?x?0,m?0，有F(x)?0恒成立，

求k的最小值； （III）证明：sin1111*?sin?sin?L?sin?ln2,(n?N). 2232234(n?1)【答案】（I）G?x?在?0,1?单调递增；（II）2；（III）证明见解析. 【解析】 【分析】

（1）0?a?1，函数G(x)?f(1?x)?lnx?asin(1?x)?lnx，

x?(0,1)．G?(x)??acos(1?x)?．根据x?(0,1)，可得

单调性．

1x的1?1，而acos(1?x)?1．即可得出x（2）由题意知，F(x)?ex?mx2?2(x?1)?k(k?R)，对?x?0，m?0，有F(x)?0恒成立．F?(x)?ex?2mx?2，设u(x)?ex?2mx?2，由m?0，可得x?(0,??)时，u(x)单调

u(ln2)??2mln2?0，递增，又u(0)??1，因此u(x)在(0,ln2)内存在唯一零点x0，使u(x0)?0，

2?2(x0?1)?k?0，故即e0?2mx0?2?0，利用其单调性可得：F(x)min?F(x0)?ex0?mx0xxex0?22xk??e?gx0?2(x0?1)?(0?1)ex0?x0?2，设v(x)?(?1)ex?x?2，x?(0,ln2)．利

2x022x0用导数研究其单调性即可得出所求k的最小值．

11（3）由(I)可知a?1时，G(x)?G（1）?0，即：sin(1?x)?ln．设1?x?，可

x(1?k)21k(k?2)1(1?k)21?kk?2?sin?ln?ln?ln得x?1?，可得，求和利用对数

(1?k)2k(k?2)kk?1(1?k)2(1?k)2的运算性质即可得出．

【详解】解：（1）0?a?1，函数G(x)?f(1?x)?lnx?asin(1?x)?lnx，x?(0,1)． 1G?(x)??acos(1?x)?．

x又Qx?(0,1)，??G?(x)?0，

1?1，而acos(1?x)?1． x故G(x)在(0,1)上单调递增．

（2）由题意知，F(x)?ex?mx2?2(x?1)?k(k?R)，对?x?0，m?0，有F(x)?0恒成立．

F?(x)?ex?2mx?2，

设u(x)?ex?2mx?2，则u?(x)?ex?2m， 由于m?0，故u?(x)?0，

x?(0,??)时，u(x)单调递增，又u(0)??1，u(ln2)??2mln2?0，

因此u(x)在(0,ln2)内存在唯一零点x0，使u(x0)?0，即e0?2mx0?2?0， 且当x?(0,x0)，u(x)?0，F?(x)?0，F(x)单调递减； x?(x0，??)，u(x)?0，F?(x)?0，F(x)单调递增．

x2?2(x0?1)?k?0， 故F(x)min?F(x0)?e0?mx0xxex0?22gx0?2(x0?1)?(0?1)ex0?x0?2， 故k??e?2x02x0xx设v(x)?(?1)e?x?2，x?(0,ln2)．

2x?1v?(x)?exg?1，

2xxx?1?1，t?(x)?ex?0， 又设t(x)?eg22故t(x)在x?(0,ln2)上单调递增，因此t(x)?t(0)?调递增，

v(x)?(1，2ln2)，又1?2ln2?ln4?2，?k…2，

1?0，即v?(x)?0，v(x)在x?(0,ln2)上单2故所求k的最小值为2．

1（3）由（1）可知a?1时，G(x)?G?1??0，即：sin(1?x)?ln

x设1?x?11k(k?2)x?1??，则

(1?k)2(1?k)2(1?k)21(1?k)21?kk?2?ln?ln?ln因此sin

(1?k)2k(k?2)kk?1即sin111?sin???sin 2232(n?1)22323n?1n?2n?2?ln?ln?ln?ln???ln?ln?ln2?ln?ln2,

1234nn?1n?1得证．

【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、换元法、放缩法、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．