天津市七校(静海一中、宝坻一中、杨村一中等)2020届高三上学期期中考试联考数学试题 Word版含解析

【答案】（1）AB?3, cos?ABC??【解析】 【分析】

353?11；（2）． 612?1?由已知可求?ABD，VABD中，由正弦定理可求

AB2?BC2?AC2可求． cos?ABC?2AB?BCAB，VABC中由余弦定理，

?2?由?1?可得cos?，进而可求sin?，进而根据二倍角公式sin2??2sin?cos?，

cos2??2cos2??1可求，然后根据两角差的余弦公式即可求解.

【详解】 ?1?由题意，因为?ADB?45o，?BAD?105o，??ABD?30o，

QAD?6，BC?2， 26VABD中，由正弦定理可得，AB2，?AB?3， ?sin45osin30oQAC?3．

AB2?BC2?AC23?4?93 ???VABC中由余弦定理可得，cos?ABC?2AB?BC62?23?2?由?1?可得cos???333，?sin??， 66?sin2??2sin?cos???5112，cos2??2cos??1??

66??1353?11?． ?sin?2????sin2??cos2??32212??【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角恒等变换的应用，其中在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 18.如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是矩形，PA?平面ABCD，

PA?AD?1AEPMAB?1，点E、M分别在线段AB、PC上，且???，其中2ABPC0???1，连接CE，延长CE与DA的延长线交于点F，连接PE,PF,ME．

（Ⅰ）求证：ME∕∕平面PFD； （Ⅱ）若??

1

时，求二面角A?PE?F的正弦值； 2

（Ⅲ）若直线PE与平面PBC所成角的正弦值为36；（Ⅲ）.

835时，求?值． 5【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）【解析】 【分析】

（Ⅰ）在线段PD上取一点N，使得

PNPNPM??，Q???，证明四边形为平行四边PDPDPC形，得到ME//AN，然后证明ME//平面PFD．

（Ⅱ）以A为坐标原点，分别以AF，AB，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面PEA的一个法向量，平面PEF的一个法向量利用空间向量的数量积，求解二面角

A?PE?F的正弦值．

uuurh2，PE?(0,h,?1)，求出平面PEA的一个法向量利用空间向（Ⅲ）令E(0，h，0)，0剟量的数量积转化求解即可．

【详解】（Ⅰ）在线段PD上取一点N，使得?MN//DC且MN?PNPNPM??，Q???， PDPDPC1?DC，

QAE??， AB1?AE?AB，AB//DC且AB?DC，

??且AE?MN，

?四边形为平行四边形，

?ME//AN，

又QAN?平面PFD，ME??平面PFD，

?ME//平面PFD．

（Ⅱ）以A为坐标原点，分别以AF，AB，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系A(0，0，0)，P(0，0，1)，B(0，2，0)，C(?1，2，0)，D(?1，0，0)，

Q??，?E(0，1，0)，F(1，0，0)

设平面PEA的一个法向量为n?(x,y,z)，

12ruuuruuurPE?(0,1,?1)，AP?(0,0,1)，

vruuu?n·PE?y?z?0ruv，令z?1，∴y?1，?m?(0,1,1)， ?ruuAP?z?0?n·设平面PEF的一个法向量为m?(x,y,z)，

ruuuruuurPE?(0,1,?1)，PF?(1,0,?1)，

vruuu?m·PE?y?z?0uv， ?ruuPF?x?z?0?m·令z?1，?x?1，y?1，?m?(1,1,1)，

rrrmgn1?13rr?cos?m,n??rr??，

|m|g|n|32g36rrrr， sin?m,n??1?cos2?m,n??3二面角A?PE?F的正弦值为6． 3uuur0)E(00剟h2（Ⅲ）令，h，，，PE?(0,h,?1)，

ur设平面PEA的一个法向量为n1?(x,y,z)，

uuuruuurPB?(0,2,?1)，BC?(?1,0,0)，

uvuuuv?PB?2y?z?0?n1·uvuv，令y?1， ?uuPB??x?0??n1·?z?1， ur?n1?(0,1,2)

uuuruuruuuruur|PEgn1||h?2|5ruur??由题意可得：|cos?PE,n1?|?uuu， 25|PE|g|n1|h?1g5?h?3， 43AE3?． ，??4AB8?AE?

【点睛】本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．

19.已知?an?是各项均为正数等比数列，?bn?是等差数列，且

a1?b1?1,b2?b3?2a3,a5?3b2?7.

（I）求?an?和?bn?的通项公式；

?1,n为奇数?*（II）设数列?cn?满足cn??b,n为偶数，求a1c1?a2c2???a2nc2n(n?N)；

n??2（III）对任意正整数n，不等式a2n?3??1?取值范围．

*n-1【答案】（I）an=2，n?N*，bn?2n?1,n?N；（II）

0?a?45． 15的??1??1?1??L??b2??b3??1?1???成立，求正数a的?bn?1?7(12n?7)n??4；（III）99