(完整word)经典《极坐标与参数方程》综合测试题(含答案),推荐文档

∴ρ1+ρ2=2，ρ1?ρ2=﹣5， ∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=

8．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，己知直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ=2，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2pcosθ（p＞0）． （1）设t为参数，若x=﹣2+

t，求直线l的参数方程；

=

=2

．

（2）已知直线l与曲线C交于P、Q，设M（﹣2，﹣4），且|PQ|2=|MP|?|MQ|，求实数p的值．

【解答】解：（1）直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ=2，化为直角坐标方程：x﹣y﹣2=0．

∵x=﹣2+t，∴y=x﹣2=﹣4+t，∴直线l的参数方程为：（t为

参数）．

（2）曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2pcosθ（p＞0），即为ρ2sin2θ=2pρcosθ（p＞0），可得直角坐标方程：y2=2px．

把直线l的参数方程代入可得：t2﹣（8+2p）∴t1+t2=（8+2p）

，t1t2=8p+32．

t+8p+32=0．

不妨设|MP|=t1，|MQ|=t2． |PQ|=|t1﹣t2|=

∵|PQ|2=|MP|?|MQ|， ∴8p2+32p=8p+32， 化为：p2+3p﹣4=0， 解得p=1．

9．在极坐标系中，射线l：θ=ρ2=

与圆C：ρ=2交于点A，椭圆Γ的方程为=

=

．

，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系xOy

（Ⅰ）求点A的直角坐标和椭圆Γ的参数方程；

（Ⅱ）若E为椭圆Γ的下顶点，F为椭圆Γ上任意一点，求【解答】解：（Ⅰ）射线l：θ=标（

，1）；

，直角坐标方程为

+y2=1，参数方程为

与圆C：ρ=2交于点A（2，

?

的取值范围．

），点A的直角坐

椭圆Γ的方程为ρ2=

（θ为参数）；

（Ⅱ）设F（

cosθ，sinθ），

∵E（0，﹣1）， ∴∴∴

10．已知在直角坐标系中，曲线的C参数方程为

（φ为参数），现

=（﹣??

，﹣2），

=（

cosθ﹣

，sinθ﹣1）， sin（θ+α）+5， ]．

=﹣3cosθ+3﹣2（sinθ﹣1）=的取值范围是[5﹣

，5+

以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ=

．

（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

（2）在曲线C上是否存在一点P，使点P到直线l的距离最小？若存在，求出距离的最小值及点P的直角坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）曲线的C参数方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=4， 直线l的极坐标方程为ρ=

，直角坐标方程为x﹣y﹣4=0；

（φ为参数），普通方程为

（2）点P到直线l的距离d=∴φ﹣

=2kπ﹣

，即φ=2kπ﹣，1﹣

）．

=

（k∈Z），距离的最小值为2

， ﹣2，点P的

直角坐标（1+

11．已知曲线C1的参数方程为

（t为参数），以原点O为极点，以x轴

．

的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为（ I）求曲线C2的直角坐标系方程；

（ II）设M1是曲线C1上的点，M2是曲线C2上的点，求|M1M2|的最小值． 【解答】解：（I）由（Ⅱ）曲线C1的参数方程为

可得ρ=x﹣2，∴ρ2=（x﹣2）2，即y2=4（x﹣1）；

（t为参数），消去t得：2x+y+4=0．

∴曲线C1的直角坐标方程为2x+y+4=0． ∵M1是曲线C1上的点，M2是曲线C2上的点，

∴|M1M2|的最小值等于M2到直线2x+y+4=0的距离的最小值． 设M2（r2﹣1，2r），M2到直线2x+y+4=0的距离为d， 则d=

=

．

≥

．

∴|M1M2|的最小值为

12．设点A为曲线C：ρ=2cosθ在极轴Ox上方的一点，且0≤θ≤

原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系xOy， （1）求曲线C的参数方程；

，以极点为

（2）以A为直角顶点，AO为一条直角边作等腰直角三角形OAB（B在A的右下

方），求点B轨迹的极坐标方程．

?x?1?cos??【解答】（1）?θ为参数） (0???，2?y?sin?（2）：设A（ρ0，θ0），且满足ρ0=2cosθ0，B（ρ，θ），

依题意，即

代入ρ0=2cosθ0并整理得，，，

所以点B的轨迹方程为

13．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：曲线C2：

，．

（φ为参数，实数a＞0），

（φ为参数，实数b＞0）．在以O为极点，x轴的正半轴

）与C1交于O、A两点，时，|OB|=2．

为极轴的极坐标系中，射线l：θ=α（ρ≥0，0≤α≤与C2交于O、B两点．当α=0时，|OA|=1；当α=（Ⅰ）求a，b的值；

（Ⅱ）求2|OA|2+|OA|?|OB|的最大值． 【解答】解：（Ⅰ）由曲线C1：

（φ为参数，实数a＞0），

化为普通方程为（x﹣a）2+y2=a2，展开为：x2+y2﹣2ax=0，

其极坐标方程为ρ2=2aρcosθ，即ρ=2acosθ，由题意可得当θ=0时，|OA|=ρ=1，∴a=． 曲线C2：

（φ为参数，实数b＞0），

化为普通方程为x2+（y﹣b）2=b2，展开可得极坐标方程为ρ=2bsinθ， 由题意可得当

时，|OB|=ρ=2，∴b=1．

（Ⅱ）由（I）可得C1，C2的方程分别为ρ=cosθ，ρ=2sinθ． ∴2|OA|2+|OA|?|OB|=2cos2θ+2sinθcosθ=sin2θ+cos2θ+1=∵2θ+当2θ+

∈=

时，θ=

，∴

时取到最大值．

+1的最大值为

+1，

+1，

14．在平面直角坐标系中，曲线C1：（a为参数）经过伸缩变换

后的曲线为C2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求C2的极坐标方程；